Applicazioni lineari e nucleo,immagine...

[Gianni911]

Ciao a tutti,volevo chiedere due cose..
Dato un'applicazione lineare cosi definita:
1) $ RR^3 -> RR^2 $
2) $ RR^2 -> RR^3 $
3) $ RR^3 -> RR^3 $
posso dire subito senza conoscere altro ,se le aplicaioni sono Surriettive ,Iniettive oppure biettive??
ps:data la matrice di rappresentazione ,so come fare.Volevo capire se era posssibile trarre delle conclusioni anche ad occhio.

2)Data una matrice:
$ RR^3( ( 1 , 1 ,1 ),( 2, 0 , 6 ),(2 ,1 ,4 ) ) $
Volevo una conferma su alcune cose che mi confondono.
Per trovare il nucleo risolvo il sistema con Gauss.
Per la dimensione dell'immagine,calcolo i pivot.
Invece per trovare i vettori dell'immagine,come faccio??
Grazie

[mistake89]

Provaci tu. Considera che se $f : V \to W$ è un'applicazione lineare allora vale $dim V = dim Kerf + dim Imf$.

Tipo nel caso 1) Hai $f : RR^3 \to RR^2$, per cui $3=dimRR^3=dimKerf+dimImf$. Ma $Imf$ è un sottospazio di $RR^2$ che ha dimensione $2$. Pertanto l'immagine potrà avere al più dimensione $2$ e allora si ha $dimKerf$ deve essere al minimo $1$, e quindi...

[Seneca1]

"Gianni91":Dato un'applicazione lineare cosi definita:
1) $ RR^3 -> RR^2 $
2) $ RR^2 -> RR^3 $
3) $ RR^3 -> RR^3 $
posso dire subito senza conoscere altro ,se le aplicaioni sono Surriettive ,Iniettive oppure biettive??

Certo che no. Devi avere qualche altra informazione, infatti, se $\varphi : V -> V'$ lineare, si ha: $dim "Ker"(\varphi) + dim "Im"(\varphi) = dim V$.

[Gianni911]

"mistake89":Provaci tu. Considera che se $f : V \to W$ è un'applicazione lineare allora vale $dim V = dim Kerf + dim Imf$.

Tipo nel caso 1) Hai $f : RR^3 \to RR^2$, per cui $3=dimRR^3=dimKerf+dimImf$. Ma $Imf$ è un sottospazio di $RR^2$ che ha dimensione $2$. Pertanto l'immagine potrà avere al più dimensione $2$ e allora si ha $dimKerf$ deve essere al minimo $1$, e quindi...

esatto era questo il ragionamento che intendevo, essendo dim $ Imf $ al più zero vuol dire,che non ho iniettività xchè il $ ker >0 $ ,ma se per la surriettivita l'immagine deve essere esattamente 2,come faccio a saperlo ?? potrebbe essere meno di 2..questo lo controllo con la matrice cercando i pivot,ma senza come ragiono.??

[mistake89]

Come ti ha scritto Senaca sopra, al di là delle considerazioni che puoi fare, devi avere più informazioni circa l'applicazione. altrimenti non puoi dir molto di più.

[Gianni911]

Capito, riguardo alla secondo domanda ,per trovare i vettori dell'immagine invece come posso fare a trovarli ,data la matrice associata??

[mistake89]

I vettori che generano l'immagine? Basta prendere le colonne linearmente indipendenti.

[Gianni911]

perfetto,grazie!!