Applicazioni lineari e nucleo

[pietro1231]

Esistono applicazioni lineari da $R^7$ a $R^4$ in cui il nucleo ha dimensione $6$?

Per il teorema della dimensione so che $dim(R^7)=dim(KerT)+dim(Im(T))$
se l'applicazione è iniettiva, implica che sia anche suriettiva e quindi $dim(KerT)=0$.
Quindi può esistere ma non deve essere iniettiva o suriettiva... giusto?

[cooper1]

"pietro123":se l'applicazione è iniettiva, implica che sia anche suriettiva e quindi $ dim(KerT)=0 $.

quello che scrivi è falso. se un endomorfismo è iniettivo allora è anche suriettivo (e viceversa). qui però non hai unn endomorfismo. inoltre con:

"pietro123":non deve essere iniettiva o suriettiva... giusto?

non dici assolutamente nulla di nuovo. l'esercizio ci dice che la dimensione del kernel è 6 per cui sappiamo già che l'applicazione non è iniettiva ($6!=0$). da questo sappiamo anche (per il teorema di nullità più rango) che non è suriettiva.
in conclusione per rispondere alla domanda, direi che potrebbe esistere solo se la dimensione dell'immagine è 1. purtroppo però non so dirti se questo sia possibile o meno, anche se non vedo perchè non possa esserlo.