Applicazioni Lineari e matrici.
Salve ragazzi, sto studiando per geometria ed algebra, ed ho provato a svolegere uno degli esercizi di prova esame della professoressa che consiste in :
Data l'applicazione $ a : r^3 -> r^3 a=(x1,x2,x3) = ((t+3)x1+2x2+x3,6x2+6x3,-4x2-5x3) $
I)scrivere la matrice associata
II)determinare per quali valori di t l'applicazione non è un isomorfismo.
III)Determinare kerf e imf
Io ho proceduto così, volevo una conferma se il mio procedimento era esatto. Ho scritto la matrice utilizzando come colonne f(e,) f(e,,) e f(e,,) ovvero quelli ottenuti sostituendo i vettori della base canonica (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) .
Dopo ho trovato il determinante della matrice A ed essendo Diverso Da Zero, ho concluso che per t=3 è un isomorfismo mentre per il caso contrario non sono ancora riuscito a formulare una risposta.
Il mio procedimento è esatto? Potreste scrive la matrice associata come la calcolereste voi?
Con milioni di ringraziamenti,
Stefano
Data l'applicazione $ a : r^3 -> r^3 a=(x1,x2,x3) = ((t+3)x1+2x2+x3,6x2+6x3,-4x2-5x3) $
I)scrivere la matrice associata
II)determinare per quali valori di t l'applicazione non è un isomorfismo.
III)Determinare kerf e imf
Io ho proceduto così, volevo una conferma se il mio procedimento era esatto. Ho scritto la matrice utilizzando come colonne f(e,) f(e,,) e f(e,,) ovvero quelli ottenuti sostituendo i vettori della base canonica (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) .
Dopo ho trovato il determinante della matrice A ed essendo Diverso Da Zero, ho concluso che per t=3 è un isomorfismo mentre per il caso contrario non sono ancora riuscito a formulare una risposta.
Il mio procedimento è esatto? Potreste scrive la matrice associata come la calcolereste voi?
Con milioni di ringraziamenti,
Stefano
Risposte
La matrice associata all'applicazione è:
$A= ( ( (t+3) , 2 , 1 ),( 0 , 6 , 6 ),( 0 , -4 , -5 ) ) $
Facendo il determinante, ci accorgiamo che $|A|!=0 , AAt!=-3$; però questo, in generale, non basta per dire che l'applicazione è un isomorfismo. Ti conviene sempre verificare che è un monomorfismo e un epimorfismo.
$A= ( ( (t+3) , 2 , 1 ),( 0 , 6 , 6 ),( 0 , -4 , -5 ) ) $
Facendo il determinante, ci accorgiamo che $|A|!=0 , AAt!=-3$; però questo, in generale, non basta per dire che l'applicazione è un isomorfismo. Ti conviene sempre verificare che è un monomorfismo e un epimorfismo.
Uhm, si , ma l'esercizio richiede di dire per quali valori esso NON è un isomorfismo, mi basta dire che $ per t=-3 $ non lo è..?
Vedi che succede all'applicazione, e in particolare alla matrice associata se inserisci $t=-3$
una colonna si annulla e il determinante è uguale a zero
e quindi, cosa possiamo dire riguardo all'applicazione?!
che non è un isomorfismo xD
=.='
si ma perchè?! Se riesci a dedurre una cosa del genere, significa che un motivo alle spalle c'è...mica puoi dire:
$"|A|=0 => f$ non è isomorfismo"
Cerca di capire cosa perde l'applicazione se il determinante è zero.
si ma perchè?! Se riesci a dedurre una cosa del genere, significa che un motivo alle spalle c'è...mica puoi dire:
$"|A|=0 => f$ non è isomorfismo"
Cerca di capire cosa perde l'applicazione se il determinante è zero.
Non ho capito che cosa intendi qui:
"Lorin":
Facendo il determinante, ci accorgiamo che $|A|!=0 , AAt!=-3$; però questo, in generale, non basta per dire che l'applicazione è un isomorfismo. Ti conviene sempre verificare che è un monomorfismo e un epimorfismo.
Intendo dire che se stiamo studiando un'applicazione lineare, in particolare l'esercizio ci chiede di mostrare che f è un isomorfismo, non basta vedere che il determinante della matrice associata è diverso da zero per dire che f è un isomorfismo.
(può essere che mi sbagli, però, ma a me all'università hanno sempre fatto fare altre considerazioni, per poter mostrare quella tesi)
(può essere che mi sbagli, però, ma a me all'università hanno sempre fatto fare altre considerazioni, per poter mostrare quella tesi)
Mmm se il determinante è diverso da $0$, allora il rango di $A$ è massimo, cioè $dim(ImF)=n$, e dal teorema della dimensione di un'applicazione lineare direi che si possa concludere.
Ovviamente le dimensioni degli spazi di partenza e d'arrivo devono essere le medesime.
Ovviamente le dimensioni degli spazi di partenza e d'arrivo devono essere le medesime.
"Lorin":
Intendo dire che se stiamo studiando un'applicazione lineare, in particolare l'esercizio ci chiede di mostrare che f è un isomorfismo, non basta vedere che il determinante della matrice associata è diverso da zero per dire che f è un isomorfismo.
(può essere che mi sbagli, però, ma a me all'università hanno sempre fatto fare altre considerazioni, per poter mostrare quella tesi)
A me invece hanno sempre detto che bastava
Più formalmente, considera $f:V to V'$ lineare ($V$ e $V'$ spazi vettoriali di dimensione $n$). Fissate due basi $ccB$ e $ccC$ in $V$ e $V'$, scriviamo $A$, la matrice associata a $f$ rispetto alle basi fissate.
$|A| !=0 $ è senz'altro una condizione necessaria perchè $f$ sia biiettivo: fin qui sei d'accordo?
Mostriamo che è anche sufficiente: dire che il determinante di A è non nullo equivale a dire che A ha rango massimo, quindi la dimensione dell'immagine è massima, cioè $n$ (epimorfismo).
Dal teorema di nullità+rango ricavi allora che il nucleo è banale (f monomorfismo).
(se non vuoi passare da nullità più rango, puoi anche dire: A ha rango massimo quindi il sistema lineare omogeneo $A\bar{x}=\bar{0}$ ha solo la soluzione banale, quindi il nucleo è ridotto al solo vettore nullo).
Sei d'accordo?
P.S. Scusami tu, mistake, per la sovrapposizione: oggi ci rincorriamo a vicenda
Si si ma anche io sono d'accordo con voi ragazzi. Il mio era solo un modo per capire se l'utente sapesse arrivare alla conclusione, come voi avete spiegato nei vostri post. Capita spesso che si arrivi a conclusioni giuste ma con sbagliate giustificazioni. Per questo insistevo sulla precisazione.
Sì d'accordo, Lorin, però quando affermi (cito testualmente):
secondo me rischi di confondere l'utente. Da qui il senso del mio intervento.
"Lorin":
Facendo il determinante, ci accorgiamo che $|A|!=0 , AAt!=-3$; però questo, in generale, non basta per dire che l'applicazione è un isomorfismo. Ti conviene sempre verificare che è un monomorfismo e un epimorfismo.
secondo me rischi di confondere l'utente. Da qui il senso del mio intervento.
Capisco...hai ragione, forse mi sono immedesimato troppo nella parte del docente "bastardo" che fa domande a trabbocchetto. Chiedo scusa!
No, ma figurati, non ti devi mica scusare. La mia era solo un'opinione, tranquillo!
Scusa Lorin, se si tratta di un isomorfismo significa che è un'applicazione biettiva, indi per cui essa perde o l'iniettività o la suriettività? E questo ciò a cui mi vuoi far arrivare?
No no, non perde, anzi le ha entrambe.
Ciò che volevo farti capire è che essendo $|A|!=0 => rgA=3 =>dimImf=dimRR^3$ quindi è suriettiva, poi se vuoi puoi provare che è anche iniettiva, cioè è un monomorfismo, vedendo che $kef= {0}$, oppure applicando il teorema del rango. Ma basta che segui le spiegazioni di Paolo90 e mistake89.^^
Ciò che volevo farti capire è che essendo $|A|!=0 => rgA=3 =>dimImf=dimRR^3$ quindi è suriettiva, poi se vuoi puoi provare che è anche iniettiva, cioè è un monomorfismo, vedendo che $kef= {0}$, oppure applicando il teorema del rango. Ma basta che segui le spiegazioni di Paolo90 e mistake89.^^
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