Applicazioni lineari e matrici
ho bisogno di una mano per capire questo esercizio:
sia $\phi:R^3rarrR^3$ l'applicazione lineare associata, rispetto alle basi canoniche, alla matrice
$((1,2,0),(0,1,2),(1,0,1))$
-Calcolare $\phi(e_1)$, $\phi(e_2)$, $\phi(e_3)$ dove $e_1, e_2, e_3$ sono i versori fondamentale di $R^3$.
-Trovare la matrice $M_(\phi)^(B,C)$ dove $B=(2e_1-e_2, e_1+e_2, e_3)$ e $C=(e_3, e_1, e_2)$.
La prima parte è facile, $\phi(e_1)=e_1+e_3$, $\phi(e_2)=2e_1+e_2$, $\phi(e_3)=2e_2+e_3$.
La seconda parte invece non la capisco: la spiegazione del libro è che
$\{(\phi(2e_1-e_2)=2e-3-e_2),(\phi(e_1+e_2)=e_3+3e_1+e_2),(\phi(e_3)=e_3+2e_2):}$ quindi $M_(\phi)^(B,C)= ((2,1,1),(0,3,0),(-1,1,2))$
ma come si arriva a queste cose non è scritto.
Mi potete spiegare i passaggi?
sia $\phi:R^3rarrR^3$ l'applicazione lineare associata, rispetto alle basi canoniche, alla matrice
$((1,2,0),(0,1,2),(1,0,1))$
-Calcolare $\phi(e_1)$, $\phi(e_2)$, $\phi(e_3)$ dove $e_1, e_2, e_3$ sono i versori fondamentale di $R^3$.
-Trovare la matrice $M_(\phi)^(B,C)$ dove $B=(2e_1-e_2, e_1+e_2, e_3)$ e $C=(e_3, e_1, e_2)$.
La prima parte è facile, $\phi(e_1)=e_1+e_3$, $\phi(e_2)=2e_1+e_2$, $\phi(e_3)=2e_2+e_3$.
La seconda parte invece non la capisco: la spiegazione del libro è che
$\{(\phi(2e_1-e_2)=2e-3-e_2),(\phi(e_1+e_2)=e_3+3e_1+e_2),(\phi(e_3)=e_3+2e_2):}$ quindi $M_(\phi)^(B,C)= ((2,1,1),(0,3,0),(-1,1,2))$
ma come si arriva a queste cose non è scritto.
Mi potete spiegare i passaggi?
Risposte
Ciao, la nuova matrice conterrà (per colonne) le coordinate delle immagini dei vettori della base $B$ rispetto alla base $C$. Quindi, prendiamo ad esempio il primo. Il libro calcola l'immagine del vettore $2e_1-e_2$ e la scrive come combinazione lineare di $e_3, e_1, e_2$ trovando i coefficienti $2, 0, -1$ che quindi compongono la prima colonna della nuova matrice. Analogamente per le altre colonne.
ok, grazie
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