Applicazioni lineari e basi

[Lindoro]

Scusate, ho un problema teorico di algebra lineare: se prendo due spazi vettoriali e fisso le basi; poi calcolo F (applicazione lineare) dei vettori di base del primo spazio, ottengo una base del secondo oppure no?

Grazie!

[Fioravante Patrone1]

no

prendi $(x,y) \mapsto (x,y,0)$ da $RR^2$ in $RR^3$

osservo anche che il fissare una base nello spazio d'arrivo non serve a nulla
o non hai formulato bene la domanda

ciao

[elgiovo]

La base nello spazio di arrivo ti serve nel caso in cui tu voglia associare una matrice del tipo $M(F)$ all'applicazione lineare $F:V rightarrow W$, dove le basi di $V$ e $W$ sono $B$ e $B'$. In questo caso devi scrivere in colonna $L(v_i)$, dove $v_i$ è il generico vettore di $B$, e esprimerlo come combinazione lineare dei vettori della base $B'$ di $W$.

$L(v_1)=a_{11}w_1+ldots+a_{m1}w_m$
$L(v_2)=a_{12}w_1+ldots+a_{m2}w_m$
$ldots ldots ldots ldotsldotsldotsldotsldotsldotsldotsldotsldots$
$L(v_n)=a_{1n}w_1+ldots+a_{mn}w_m$.

Ora, la matrice $M_{m times n}(F)=((a_{11},cdots,a_{1n}),(vdots,ddots,vdots),(a_{m1},cdots,a_{mn}))$, e vale l'equazione fondamentale $L(v)_{B'}=M(F)v_B$. Ovvero a ogni applicazione lineare da uno spazio $V$ di dimensione $n$ a uno spazio $W$ di dimensione $m$ puoi associare una matrice $m times n$. Ciò, tra l'altro, significa che lo spazio $Hom(V,W)$ delle applicazioni lineari da $V$ a $W$ è isomorfo allo spazio delle matrici $M_{m times n}$ e ha quindi dimensione $m times n$.