Applicazioni lineari e autovettori

[GiammarcoPavan]

Ciao a tutti

Recentemente ho fatto un esercizio dove mi veniva chiesto di determinare una base di autovettori del dominio (o, indifferentemente, del codominio) di un endomorfismo. Il procedimento, secondo la soluzione guidata del libro di riferimento, consiste nel trovare prima le basi degli autospazi riferiti ai vari autovalori dell'endomorfismo, poi, semplicemente, afferma che l'unione di tali basi costituisce una base di autovettori dell'endomorfismo.

Questo in qualche modo significa che i vettori componenti le basi degli autospazi sono in qualsiasi caso linearmente indipendenti (viene quasi dato per scontato). Tuttavia un'affermazione del genere a me non viene spontanea, anzi, ho provato anche a inventarmi qualche caso in cui i vettori siano linearmente dipendenti e non incorro in particolari contraddizioni.

Qualcuno potrebbe aiutarmi con una dimostrazione?

[Emar1]

Possiamo partire con il mostrare che due autovettori appartenenti ad autospazi differenti sono linearmente indipendenti.

Proposizione. Sia \(\mathrm{A} \in \text{End}(\mathbf{V})\), siano \(\lambda_1, \lambda_2\) autovalori distinti di \(\mathrm{A}\) e siano \(\mathbf{v}_1 \in \text{Ker}(\mathrm{A} - \lambda_1 \mathrm{I})\) \(\mathbf{v}_2 \in \text{Ker}(\mathrm{A} - \lambda_2 \mathrm{I})\). Allora \(\mathbf{v}_1\) e \(\mathbf{v}_2\) sono linearmente indipendenti.

Proof: Supponiamo per assurdo che \(\mathbf{v}_1\) e \(\mathbf{v}_2\) siano linearmente dipendenti, ovvero che esista \(\alpha \in \mathbb{C}, \alpha \ne 0, \alpha \ne 1\) tale che \(\mathbf{v}_2 = \alpha \mathbf{v}_1\). Allora:
\[\lambda_2 \mathbf{v}_2 = \mathrm{A} \mathbf{v}_2 = \alpha \mathrm{A} \mathbf{v}_1 =\alpha \lambda_1 \mathbf{v}_1 = \lambda_1 (\alpha \mathbf{v}_1 ) = \lambda_1 \mathbf{v}_2 \]
da cui segue \(\lambda_1 = \lambda_2\) che contraddice l'ipotesi. \(\square\)

Questo implica banalmente che le basi di due autospazi sono linearmente indipendenti.