Applicazioni lineari (dubbio su un'osservazione)
Salve a tutti volevo avere un vostro parere riguardo la seguente osservazione che appare sul mio libro:
K^m$ una trasformazione lineare standard e siano $B_n,B'_n$ le basi naturali rispettivamente di $K^n,K^m$.Se $AinM_(mxn)(K)$ è la matrice associata a $Ť $ relativamente a $B_n,B'_n$, la sua j-esima colonna $a_j$ è il trasformato di $Ť(e_j)$ del j-esimo vettore di $B_n$. Si dice allora che $A$ è la matrice canonicamente associata alla trasformazione lineare standard $Ť$ , sottointendendo le basi naturali rispetto a cui risulta ottenuta. In tal caso infatti le equazioni di $Ť$ forniscono direttamente il trasformato $(y_1,..,y_m)=Ť(x_1,...,x_n)$ . Si osservi inoltre che se $T:V^n->W^m$ è una trasformazione lineare e $B;B'$ sono basi ordinate rispettivamente di $V^n,W^m$ allora la matrice $M_(B,B')(T)$ coincide con la matrice $A$ canonicamente associata alla trasformazione lineare standard: $Ť _(B_n,B'_n)=phi_(B')@T@(phi_B)^(-1): K^n->K^m$ ove $phi_B : V^n->W^m, phi_(B'):W^m->K^m$ indicano gli isomorfismi associati rispettivamente a $B,B'$.>>
Non riesco proprio a capire come le due matrici associate rispettivamente a $Ť : K^n->K^m$ e $T : V^n->W^m$ possano coincidere. Per far si che ciò sia vero non dovrebbe significare forse che le basi di $K^m$ e $V^n$ coincidano e di $K^m$ e $W^m$ coincidano?
Non riesco proprio a capire come le due matrici associate rispettivamente a $Ť : K^n->K^m$ e $T : V^n->W^m$ possano coincidere. Per far si che ciò sia vero non dovrebbe significare forse che le basi di $K^m$ e $V^n$ coincidano e di $K^m$ e $W^m$ coincidano?
Risposte
allora credo di non aver capito il ruolo degli isomorfismi: a quali basi si riferiscono questi? Ad una stessa base di dominio e codominio?
Ogni scelta di una coppia di basi identifica un isomorfismo di $K^n$ in sé stesso, sì (perché ti è sufficiente scegliere una biiezione tra le basi, e questa si estende in modo unico a una applicazione lineare).
Qualcuno potrebbe farmi un esempio?
Allora io penso che le cose stiano così (spero mi diate conferma):
$T:K^n->K^m$ ha come matrice associata $M_(B_n,B'_n)=A$ ove $B_n,B'_n$ sono le rispettive basi canoiche o naturali.
inoltre fissiamo due nuove basi e chiamiamole $B$di $V^nsubK^n$ e $B'$di $W^msub K^m$ e si faccia caso al fatto che $B=B_n X=V => B=X=V=(vec(v_1),...,vec(v_n))$. Se ora applichiamo $T':V->W$, tale trasformazione avrà come matrice associata $M_(B,B')(T')=Y=C*X$ cioè in pratica $T(V)=B'*Y=T(B_n)V=B'CV => T(B_n)=B'C$.
Se vogliamo che $M_(B_n,B'_n)(T)=M_(B,B')(T')$ allora dovrà essere che $C=AV^(-1)$ e cioè che $T(B_n)=B'C=B'AV^(-1)$.
P.S si noti che io identifico la trasformazione di TUTTI i vettori di una base (i.e $B_n$) su cui agisce $T -> T(B_n)$ come il prodotto riga per colonna di fra due matrici di cui una, quella più a sinistra, ha come vettori colonna i vettori che costituiscono la base fissata nello spazio d'arrivo (i.e $B'_n$) per la matrice delle coordinate dei trasformati di $T$ rispetto a quest'ultima: $T(B_n)=(T(vec(e_1)),...,T(vec(e_n)))=B'_n*A => T(vec(e_j))=B'_nA^j=sum_j a_(j,i)*vec(e'_j)$ e $vec(e'_j)$ è un vettore colonna della matrice ordinata della m-pla di vettori della base del codominio:$B'_n$
$T:K^n->K^m$ ha come matrice associata $M_(B_n,B'_n)=A$ ove $B_n,B'_n$ sono le rispettive basi canoiche o naturali.
inoltre fissiamo due nuove basi e chiamiamole $B$di $V^nsubK^n$ e $B'$di $W^msub K^m$ e si faccia caso al fatto che $B=B_n X=V => B=X=V=(vec(v_1),...,vec(v_n))$. Se ora applichiamo $T':V->W$, tale trasformazione avrà come matrice associata $M_(B,B')(T')=Y=C*X$ cioè in pratica $T(V)=B'*Y=T(B_n)V=B'CV => T(B_n)=B'C$.
Se vogliamo che $M_(B_n,B'_n)(T)=M_(B,B')(T')$ allora dovrà essere che $C=AV^(-1)$ e cioè che $T(B_n)=B'C=B'AV^(-1)$.
P.S si noti che io identifico la trasformazione di TUTTI i vettori di una base (i.e $B_n$) su cui agisce $T -> T(B_n)$ come il prodotto riga per colonna di fra due matrici di cui una, quella più a sinistra, ha come vettori colonna i vettori che costituiscono la base fissata nello spazio d'arrivo (i.e $B'_n$) per la matrice delle coordinate dei trasformati di $T$ rispetto a quest'ultima: $T(B_n)=(T(vec(e_1)),...,T(vec(e_n)))=B'_n*A => T(vec(e_j))=B'_nA^j=sum_j a_(j,i)*vec(e'_j)$ e $vec(e'_j)$ è un vettore colonna della matrice ordinata della m-pla di vettori della base del codominio:$B'_n$
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