Applicazioni Lineari. Determinazione di (f o g) rispetto alla base canonica. Verificare che (f o g) è un isomorfismo.
Salve, mi sono trovato di fronte a questo esercizio e volevo chiedervi qualche dritta circa la risoluzione di quest'ultimo.
L'esercizio è il seguente:
Sono date le applicazioni lineari
$f : R^2 -> R^2, g : R^2 -> R^2$
tali che
$f(x,y)=(x+2y,−x−y), g(1,1)=(−1,0), g(1,−1)=(0,1).$
a) Determinare la matrice di $(fog)$ rispetto alla base canonica di $R^2$.
b) Verificare che $(fog)$ è un isomorfismo, e calcolare $(fog)^-1(1,1)$.
Con $(fog)$ indico $g(f)$, purtroppo, essendo un nuovo utente, non so come scrivere correttamente.
Per il punto a), ad esempio, se avessi avuto anche la $g$ nella forma $g(x,y)$ avrei saputo come muovermi. Ma io in questo caso non saprei proprio da dove partire. Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto e la disponibilità
L'esercizio è il seguente:
Sono date le applicazioni lineari
$f : R^2 -> R^2, g : R^2 -> R^2$
tali che
$f(x,y)=(x+2y,−x−y), g(1,1)=(−1,0), g(1,−1)=(0,1).$
a) Determinare la matrice di $(fog)$ rispetto alla base canonica di $R^2$.
b) Verificare che $(fog)$ è un isomorfismo, e calcolare $(fog)^-1(1,1)$.
Con $(fog)$ indico $g(f)$, purtroppo, essendo un nuovo utente, non so come scrivere correttamente.
Per il punto a), ad esempio, se avessi avuto anche la $g$ nella forma $g(x,y)$ avrei saputo come muovermi. Ma io in questo caso non saprei proprio da dove partire. Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto e la disponibilità
Risposte
a). Fissata la base canonica come base, calcola la matrice associata di f e la matrice associata a g, quindi esegui il prodotto tra matrici (la matrice della composizione è il prodotto tra matrici).
Dalla teoria sai che esiste una e una sola applicazione lineare che manda una base di $RR^2$ in due vettori fissati. Per trovare la matrice associata rispetto ala base canonica, usa che $1/2 (1,1) + 1/2 (1,-1)$, e quindi per linearità $g(1,0)=1/2 g(1,1)+1/2 g(1,-1)= 1/2(-1,0)+1/2(0,1)$ (fa tu i calcoli). Il vettore che ottieni, g(1,0), è esattamente la prima colonna della matrice associata a g nella base canonica.
Fa lo stesso per trovarti la seconda colonna...
b). La composizione di due isomorfismi è un isomorfismo: l'iniettività e la surgettività sono ovvie, rimane da vedere la linearità. QUesto è davero un esercizietto banale che lascio a te (fallo in generale): $g,f$ sono isomorfismi. Proviamo che $gof$ è un isomorfismo. Linearità: per ogni $v,w$ in V
$(gof)(v+w)=g(f(w+v))= g(f(w)+f(v)) = ...$
La surgettività segue dal fatto che $\dim \Im gof = \dim \im g|_{\im f} = \dim\im f -\dim \Ker g|_{\im f}$. Poichè g è iniettiva il ker sicuramente ha dimensione 0, a fortiori sarà 0 la restrizione a un sottospazio. Poichè f è surgettiva, $\dim \im f= \dim V$, da cui finalmente $\dim \im gof=\dim V$.
Dalla teoria sai che esiste una e una sola applicazione lineare che manda una base di $RR^2$ in due vettori fissati. Per trovare la matrice associata rispetto ala base canonica, usa che $1/2 (1,1) + 1/2 (1,-1)$, e quindi per linearità $g(1,0)=1/2 g(1,1)+1/2 g(1,-1)= 1/2(-1,0)+1/2(0,1)$ (fa tu i calcoli). Il vettore che ottieni, g(1,0), è esattamente la prima colonna della matrice associata a g nella base canonica.
Fa lo stesso per trovarti la seconda colonna...
b). La composizione di due isomorfismi è un isomorfismo: l'iniettività e la surgettività sono ovvie, rimane da vedere la linearità. QUesto è davero un esercizietto banale che lascio a te (fallo in generale): $g,f$ sono isomorfismi. Proviamo che $gof$ è un isomorfismo. Linearità: per ogni $v,w$ in V
$(gof)(v+w)=g(f(w+v))= g(f(w)+f(v)) = ...$
La surgettività segue dal fatto che $\dim \Im gof = \dim \im g|_{\im f} = \dim\im f -\dim \Ker g|_{\im f}$. Poichè g è iniettiva il ker sicuramente ha dimensione 0, a fortiori sarà 0 la restrizione a un sottospazio. Poichè f è surgettiva, $\dim \im f= \dim V$, da cui finalmente $\dim \im gof=\dim V$.
Grazie mille.
Per quanto riguarda il punto a), una volta trovate la matrice associata a $g=B$ e quella associata ad $f=A$, bisogna fare $A*B$?
Invece, per quanto riguarda il punto b), essendo la composta di applicazioni lineari ancora lineare, per verificare che quest'ultima è un isomorfismo, non basterebbe verificare che il determinante della matrice $A*B$ sia diverso da 0? Infatti se questo determinante è diverso da 0, allora la matrice risulta essere invertibile e quindi è un isomorfismo. Correggimi se sbaglio.
Ah, un'ultima cosa, come faccio a calcolare $(fog)^-1(1,1)$?
Ti ringrazio ancora per la tua immensa disponibilità
Per quanto riguarda il punto a), una volta trovate la matrice associata a $g=B$ e quella associata ad $f=A$, bisogna fare $A*B$?
Invece, per quanto riguarda il punto b), essendo la composta di applicazioni lineari ancora lineare, per verificare che quest'ultima è un isomorfismo, non basterebbe verificare che il determinante della matrice $A*B$ sia diverso da 0? Infatti se questo determinante è diverso da 0, allora la matrice risulta essere invertibile e quindi è un isomorfismo. Correggimi se sbaglio.
Ah, un'ultima cosa, come faccio a calcolare $(fog)^-1(1,1)$?
Ti ringrazio ancora per la tua immensa disponibilità
Se avessi avuto $(fog)(x,y)$ probabilmente l'avrei saputo fare. Ma ora mi trovo di fronte ad una matrice e non saprei come muovermi.
La matrice composizione è $B\cdot A$. E si, un metodo super veloce è vedere se il determinante è diverso da 0. Perchè?
Perchè, se il determinante di BA è diverso da 0, ne deduco che l'applicazione $BA:X\mapsto BAX$ è un isomorfismo (perchè l'immagine di BA è lo span delle sue colonne, e il determinante è 0 se e solo se le colonne sono linearmente indipendenti).
Perchè, se il determinante di BA è diverso da 0, ne deduco che l'applicazione $BA:X\mapsto BAX$ è un isomorfismo (perchè l'immagine di BA è lo span delle sue colonne, e il determinante è 0 se e solo se le colonne sono linearmente indipendenti).
Va bene, grazie. E per quanto riguarda il calcolo di $(fog)^-1(1,1)$ come dovrei procedere?
Calcola l'inversa della tua matrice, e poi calcoli $AX$, dove A è l'inversa che trovi, e X=(1,1)
Ma la mia matrice è una matrice 2x2, non si può fare il prodotto per una matrice 1x1.
O mi sbaglio?
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