Applicazioni Lineari - come individuare valori dei parametri che soddisfino una condizione sull'immagine
Buongiorno a tutti,
è la prima volta che faccio un post in questo sito e spero di crearlo rispettando adeguatamente tutte le regole del forum.
Sto svolgendo un esercizio sulle applicazioni lineari. Il testo recita in questo modo:
Consideriamo l'applicazione lineare $ f: R^4 -> R^4 $ la cui matrice associata rispetto alla base canonica è :
$ ( (a,1,1,1),(1,b,1,1),(1,1,c,1),(1,1,1,d) ) $
Sia $ W= {(x,y,z,w) in R^4: x+2y+3z+4w=0} $
Determinare per quali valori dei parametri si ha che $ Im(f) sube W $
Io l'ho pensata in questo modo:
$Imm (f)=( (a,1,1,1),(1,b,1,1),(1,1,c,1),(1,1,1,d) ) *((x),(y),(z),(w)) = ( (ax+y+z+w),(x+by+z+w),(x+y+cz+w ),(x+y+z+w) )$
Quindi ho cercato la condizione che devono soddisfare gli oggetti che appartengono a W, cioè
$ x = -2y -3z -3w $
Ora vorrei imporre che il generico vettore di $ Imm (f) $ soddisfi tale condizione... ho provato a sostituire tale condizione in $x$ ma evidentemente sto sbagliando qualcosa e non so davvero come procedere in quanto poi il risultato che ottengo è diverso da quello della soluzione (nella soluzione ho che $(a=-9, b=-4 , c=-7/3, d=-3/2)$ ).
Sono in altro mare
e vorrei capire bene il ragionamento, dato che avrò un esame a breve e vorrei poter spiegare e utilizzare questi strumenti. Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto che potrete fornirmi.
è la prima volta che faccio un post in questo sito e spero di crearlo rispettando adeguatamente tutte le regole del forum.
Sto svolgendo un esercizio sulle applicazioni lineari. Il testo recita in questo modo:
Consideriamo l'applicazione lineare $ f: R^4 -> R^4 $ la cui matrice associata rispetto alla base canonica è :
$ ( (a,1,1,1),(1,b,1,1),(1,1,c,1),(1,1,1,d) ) $
Sia $ W= {(x,y,z,w) in R^4: x+2y+3z+4w=0} $
Determinare per quali valori dei parametri si ha che $ Im(f) sube W $
Io l'ho pensata in questo modo:
$Imm (f)=( (a,1,1,1),(1,b,1,1),(1,1,c,1),(1,1,1,d) ) *((x),(y),(z),(w)) = ( (ax+y+z+w),(x+by+z+w),(x+y+cz+w ),(x+y+z+w) )$
Quindi ho cercato la condizione che devono soddisfare gli oggetti che appartengono a W, cioè
$ x = -2y -3z -3w $
Ora vorrei imporre che il generico vettore di $ Imm (f) $ soddisfi tale condizione... ho provato a sostituire tale condizione in $x$ ma evidentemente sto sbagliando qualcosa e non so davvero come procedere in quanto poi il risultato che ottengo è diverso da quello della soluzione (nella soluzione ho che $(a=-9, b=-4 , c=-7/3, d=-3/2)$ ).
Sono in altro mare
e vorrei capire bene il ragionamento, dato che avrò un esame a breve e vorrei poter spiegare e utilizzare questi strumenti. Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto che potrete fornirmi.
Risposte
Per evitare confusione di simboli la relazione data la scriverei come :
(1) $X+2Y+3Z+4W=0$
Il generico vettore di $Im(f) $ è $(ax+y+z+w,x+by+z+w,x+y+cz+w,x+y+z+dw ) ^t$ e affinché risulti $Im(f)\subseteq W $
tale vettore deve soddisfare la (1). Pertanto si ha:
$(ax+y+z+w)+2(x+by+z+w)+3(x+y+cz+w)+4(x+y+z+dw)=0$
ovvero :
$(a+9)x+(2b+8)y+(3c+7)z+(4d+6)w=0$
Quest'ultima relazione deve essere identicamente soddisfatta rispetto alle variabili x,y,z.w e quindi tutti
i suoi coefficienti devono esssere nulli:
\begin{cases}a+9=0\\2b+8=0\\3c+7=0\\4d+6=0\end{cases}
da cui appunto :
$a=-9,b=-4,c=-7/3,d=-3/2$
(1) $X+2Y+3Z+4W=0$
Il generico vettore di $Im(f) $ è $(ax+y+z+w,x+by+z+w,x+y+cz+w,x+y+z+dw ) ^t$ e affinché risulti $Im(f)\subseteq W $
tale vettore deve soddisfare la (1). Pertanto si ha:
$(ax+y+z+w)+2(x+by+z+w)+3(x+y+cz+w)+4(x+y+z+dw)=0$
ovvero :
$(a+9)x+(2b+8)y+(3c+7)z+(4d+6)w=0$
Quest'ultima relazione deve essere identicamente soddisfatta rispetto alle variabili x,y,z.w e quindi tutti
i suoi coefficienti devono esssere nulli:
\begin{cases}a+9=0\\2b+8=0\\3c+7=0\\4d+6=0\end{cases}
da cui appunto :
$a=-9,b=-4,c=-7/3,d=-3/2$
Ciao! Come hai scritto tu, un generico vettore appartenente a $Imm(f)$ è del tipo
$ ( ( x' ),( y' ),( z' ),( w' ) )=( (ax+y+z+w ),(x+by+z+w ),(x+y+cz+w),(x+y+z+dw) ) $
con $(x,y,z,w)\in \mathbb{R}^4$ arbitrario. Questo generico vettore appartiene a $W$ se e solo se $x'+2y'+3z'+4w'=0$, ovvero
\[
ax+y+z+w+2x+2by+2z+2w+3x+3y+3cz+3w+4x+4y+4z+4dw=0
\]
o equivalentemente
\[
(a+9)x+2(b+4)y+ (3c+7)z+2(2d+3)w=0.
\]
Poiché come abbiamo detto $(x,y,z,w)\in \mathbb{R}^4$ è arbitrario, deve essere
${ ( a+9=0 ),( b+4=0 ),( 3c+7=0 ),( 2d+3=0 ):}$
da cui ricavi le soluzioni che hai scritto tu.
$ ( ( x' ),( y' ),( z' ),( w' ) )=( (ax+y+z+w ),(x+by+z+w ),(x+y+cz+w),(x+y+z+dw) ) $
con $(x,y,z,w)\in \mathbb{R}^4$ arbitrario. Questo generico vettore appartiene a $W$ se e solo se $x'+2y'+3z'+4w'=0$, ovvero
\[
ax+y+z+w+2x+2by+2z+2w+3x+3y+3cz+3w+4x+4y+4z+4dw=0
\]
o equivalentemente
\[
(a+9)x+2(b+4)y+ (3c+7)z+2(2d+3)w=0.
\]
Poiché come abbiamo detto $(x,y,z,w)\in \mathbb{R}^4$ è arbitrario, deve essere
${ ( a+9=0 ),( b+4=0 ),( 3c+7=0 ),( 2d+3=0 ):}$
da cui ricavi le soluzioni che hai scritto tu.
Ti ringrazio molto !! 
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