Applicazioni lineari associate a matrici
Si indichi una matrice $A in RR^(2x2)$ tale che
$KerL_A=ImL_A=( ( 3 ),( 5 ) ) $
Senza calcolare $A^2$, si provi che $A^2=0$
non ho idea di come partire
miei compagni di corso mi hanno detto di trovare una matrice H con determinante diverso da 0, per esempio $ ( ( 1 , 3 ),( 0 , 5 ) ) $
ed imporre che $A=( ( 3 , 0 ),( 5 , 0 ) )*( ( 1 , 3 ),( 0 , 5 ) )^-1$ ma per me questa cosa non ha nessun senso logico! Non ne parliamo della dimostrazione di $A^2=0$, che evito anche di postare
$KerL_A=ImL_A=( ( 3 ),( 5 ) ) $
Senza calcolare $A^2$, si provi che $A^2=0$
non ho idea di come partire
miei compagni di corso mi hanno detto di trovare una matrice H con determinante diverso da 0, per esempio $ ( ( 1 , 3 ),( 0 , 5 ) ) $ ed imporre che $A=( ( 3 , 0 ),( 5 , 0 ) )*( ( 1 , 3 ),( 0 , 5 ) )^-1$ ma per me questa cosa non ha nessun senso logico! Non ne parliamo della dimostrazione di $A^2=0$, che evito anche di postare
Risposte
[tex]A^2=0[/tex] invece è molto facile. Se ci pensi un attimo, dire questo è equivalente a dire [tex]\mathrm{Im}A \subset \ker{A}[/tex]. E la tua [tex]A[/tex] per costruzione verifica questo e anche molto di più.
P.S.: Ah, chiaramente sto confondendo [tex]A[/tex] e l'applicazione lineare associata, che tu chiami [tex]L_A[/tex]. E' un classico abuso di notazione.
P.S.: Ah, chiaramente sto confondendo [tex]A[/tex] e l'applicazione lineare associata, che tu chiami [tex]L_A[/tex]. E' un classico abuso di notazione.
mmm...scusa la mia ignoranza 
ma proprio non saprei, con le applicazioni lineari proprio non ci sono (almeno sugli esercizi), il prof durante il corso non ha mai fatto grandi dimostrazioni e si è limitato a ripetere a pappagallo un libro 
ma proprio non saprei, con le applicazioni lineari proprio non ci sono (almeno sugli esercizi), il prof durante il corso non ha mai fatto grandi dimostrazioni e si è limitato a ripetere a pappagallo un libro
prima di aprire un altro topic posto qui un altro esercizio:
Si consideri l'applicazione lineare $f:RR^3->RR^3$ definita da
$f((1),(1),(1))=((2),(2),(1))$ , $f((2),(2),(1))=((1),(1),(1))$ , $f((0),(1),(1))=((0),(1),(1))$
Si determini $A in RR^3$ tale che $f=L_A$, si provi che $A^2=I$
allora io ho impostato $A*((1 , 2 , 0),(1 , 2 , 1),(1 , 1 , 1))=((2 , 1 , 0),(2 , 1 , 1),(1 , 1 , 1))$ quindi, siccome la matrice che moltiplica A ha determinante diverso da 0, è invertibile, allora $A=((2 , 1 , 0),(2 , 1 , 1),(1 , 1 , 1))*((1 , 2 , 0),(1 , 2 , 1),(1 , 1 , 1))^-1$
va bene fin qui? suggerimenti per il secondo passo?
Si consideri l'applicazione lineare $f:RR^3->RR^3$ definita da
$f((1),(1),(1))=((2),(2),(1))$ , $f((2),(2),(1))=((1),(1),(1))$ , $f((0),(1),(1))=((0),(1),(1))$
Si determini $A in RR^3$ tale che $f=L_A$, si provi che $A^2=I$
allora io ho impostato $A*((1 , 2 , 0),(1 , 2 , 1),(1 , 1 , 1))=((2 , 1 , 0),(2 , 1 , 1),(1 , 1 , 1))$ quindi, siccome la matrice che moltiplica A ha determinante diverso da 0, è invertibile, allora $A=((2 , 1 , 0),(2 , 1 , 1),(1 , 1 , 1))*((1 , 2 , 0),(1 , 2 , 1),(1 , 1 , 1))^-1$
va bene fin qui? suggerimenti per il secondo passo?
Aspetta, una cosa alla volta. Finiamo il primo esercizio prima di passare al secondo. 
Se la matrice avesse determinante diverso da [tex]0[/tex], allora il sistema di equazioni
[tex]A\bold{x}=\bold{0}[/tex]
avrebbe solo la soluzione [tex]\bold{x}=\bold{0}[/tex]. E come farebbe allora il vettore [tex](3, 5)[/tex] a stare nel nucleo?
"Blackorgasm":I tuoi compagni di corso ti hanno detto una fesseria. Tipico. Mai dare ascolto ai compagni di corso!
non ho idea di come partire
Se la matrice avesse determinante diverso da [tex]0[/tex], allora il sistema di equazioni
[tex]A\bold{x}=\bold{0}[/tex]
avrebbe solo la soluzione [tex]\bold{x}=\bold{0}[/tex]. E come farebbe allora il vettore [tex](3, 5)[/tex] a stare nel nucleo?
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