Applicazioni lineari

[Alex_921]

Ragazzi ho questo problema:
Si consideri l'applicazione lineare da $R^4$ in $R^3$.
$f (x, y, z, t) = (x + 2y - t, 2x + y + t, x - y + 2t)$

Devo trovare una base di $Ker f$ una base di $Im f$ e le loro dimensioni:

Scrivo la matrice associata $((1,2,1,-1),(2,1,0,1),(1,-1,0,2))$

Mediante l'eliminazione di Gauss trovo $((1,-1,0,2),(0,3,0,-3),(0,0,0,0))$

da cui ricavo il rango della matrice e per il teorema della Dimensione $rgA = dimImf = 2$
Sempre per il teorema della Dimensione trovo $dim Kerf = 2$

Trovo una base di $Imf$ dalla matrice ridotta, scegliendo i due vettori che originariamente si trovavano nelle colonne con i pivot (quelli l.i.), perciò $base Imf = (1,2,1 , 2,1-1)$

DOMANDA 1:Fino qui tutto bene?

Mi manca ancora di trovare la base del nucleo, risolvo il sistema omogeneo
$x - y + 2z = 0$
$3y - 3z = 0$

Trovo $-x = z = y$

DOMANDA 2: a questo punto mi basta dare valori casuali alle incognite per trovare le 2 basi?? Ad esempio
$y=2$ --> $-2,2,2$
$y=3$ --> $-3,2,2$
Da cui troverei base $Kerf = (-2,2,2) , (-3,3,3)$
il che mi sembra molto strano perché questi due vettori non sono linearmente indipendenti.

DOMANDA 3: L'esercizio a questo punto mi chiede di scrivere una matrice che rappresenta f. Che cosa intende?

Grazie in anticipo!!!

[Alex_921]

Nessuno sa come aiutarmi???

[Alex_921]

"Sergio":[quote="Alex_92"]Nessuno sa come aiutarmi???

Il regolamento, che dovresti conoscere bene, vieta "up" così solleciti.

Preciso che avevo iniziato a risponderti PRIMA del tuo "up", che quindi era assolutamente inutile.
Preciso anche che se il mio messaggio ha l'ora delle 18:40 è solo perché, come ho fatto notare, l'esercizio presenta probabili errori di trascrizione o banali errori di esecuzione che fanno solo perdere tempo.[/quote]


Scusami hai ragione, é solo che é tutto il giorno che studio, subentra la stanchezza e l'impazienza di capire queste ultime cose.

[Alex_921]

Allora pardon...la matrice associata ha rango 2, ho sbagliato a scriverla qui e non mi sono accorto,

$((1,2,0,-1),(2,1,0,1),(1,-1,0,2))$

Per quanto riguarda il sistema omogeneo per trovare la base del nucleo:
$x - y + 2t = 0$
$3y - 3t = 0$

Ho capito che trovo $x = -t$ e $y = t$ ma perché pure z = t quando z é sempre zero nel sistema???

Infine l'ultima cosa che hai scritto non l'ho capita molto bene, il nucleo deve avere dimensione 2 giusto?

[Alex_921]

Ragazzi non riesco proprio a capire come si trova una base del nucleo, se svolgo il sistema
$x - y + 2t = 0$
$3y - 3t = 0$
non va bene, lo vedo dai risultati che ne vengono fuori, ma allora come devo fare, considerando che devo trovare una base del nucleo che ha dimensione 2, perciò due vettori linearmente indipendenti???

[Alex_921]

Grazie!