Applicazioni lineari

[delbi]

Ho questo simpatico esercizio:
"Siano $V$ uno spazio vettoriale e $U$ , $W$ due sottospazi. Sia $f: U \times W \to V$ l'applicazione $f(u,w)=u+w$.
i) Dimostrare che $f$ è lineare
ii) Determinare il nucleo $Ker(f)$ e l'immagine $Im(f)$
iii) Applicare la formula di dimensione per applicazioni lineari: cosa si nota?"

Allora per il punto i):
Prendo un altro vettore $(u_1,w_1) \in U \times V$ e verifico che $f$ sia omogenea e additiva:
$f((u,w)+(u_1,w_1)) = f((u+u_1,w+w_1) = u + u_1 + w + w_1 = f(u,w) + f(u_1,w_1)$
$\lambda f(u,w) = \lambda (u + w) = \lambda u + \lambda w = f(\lambda u,\lambda w)$

Quindi $f$ è lineare

ii):
Io so che per definizione $Ker(f)={(u,w)\in U\times W : f(u,w)=0_V}$
e qua iniziano i problemi...
$f(u,w)= u+w = 0$ cioè $w=(-u)$ o $u=(-w)$ ?

e anche per calcolare $Im(f)$ non so bene come fare...

[girdav]

Il nucleo di $f$ è l'insieme delle copie della forma $(u,-u)$ con $u\in U\times W$. L'immagine è $U+W$.

[delbi]

quindi $Im(f) = u + w$?
e il nucleo è $Ker(f)={(u,-u),(w,-w)}$?
poi per l'ultima domanda, cosa posso dire su $DimV = Dim(Ker(f)) + Dim(Im(f))$?
che $DimV = Dim(Im(f))$, perchè $Dim(Ker(f)) = 0$?