Applicazioni lineari

[francy661]

esistono applicazioni lineari da $R_7$ in $R_4$ il cui nucleo ha dimensione 4?

pongo

T : $R_7 a R_4$ : $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ a $(x_4,x_5,x_6,x_7)$

T è lineare e $Im T = R_4$

dal teorema del rango si ha

$dim (R_7) = dim (kerT) + dim (ImT)$

dim Im T = 4 quindi il nucleo di T non ha dim = 4 ma dim =3

corretto?

[Quinzio]

mmm... direi di no. Cioè esistono applicazioni del genere.
Se banalmente pensi ad una applicazione nulla (cioè che manda tutti i vettori in $o$), hai che $dim(ker f)=7$.

Ma anche
$f"(("x_1 , x_2 , ... , x_7"))"=(x_7,0,0,0)$
ha $dim(ker f)> 4$
Che dimensione ha il ker di questa ?

[francy661]

devo dire se esistono applicazioni lineari da R7 in R4 il cui nucleo ha dimensione 4? e giustificare la risposta

[Antimius]

Attento a non confondere immagine e codominio. La dimensione del codominio è 4, ma la dimensione dell'immagine è minore o uguale a 4 (essendone un sottospazio). Portare un esempio in cui dimensione di immagine e codominio coincidono (i.e. la funzione è suriettiva), non è sufficiente a escludere che esistano funzioni in cui l'immagine sia un sottospazio proprio del codominio.
Ad esempio, se la dimensione dell'immagine è 3, quanto è la dimensione del nucleo?

[francy661]

4