Applicazioni lineari

[toguttina]

Buonasera a tutti,
sto svolgendo un esercizio che dicedire se esiste e se è unica un'applicazione lineare $f:R^3->R^4$ tale che $Imf=L{(1,5,1,0),(-1,3,2,0),(-1,0,1,1)}$
Secondo me esiste ed è
$f(1,0,0)=(1,5,1,0)$
$f(0,1,0)=(-1,3,2,0)$
$f(0,0,1)=(-1,0,1,1)$
solo che poi non mi trovo con la proprietà di linearità perchè nel mio caso $f(u+v)\ne f(u)+f(v)$ dove u e v sono i primi due vettori della base canonica. Poi dovrebbe essere unica perchè come vettori del dominio ho scelto una base giusto???
Help!!!
Grazie a tutti.

[perplesso1]

"toguttina":Buonasera a tutti,
sto svolgendo un esercizio che dice dire se esiste e se è unica un'applicazione lineare $f:R^3->R^4$ tale che $Imf=L{(1,5,1,0),(-1,3,2,0),(-1,0,1,1)}$
Secondo me esiste ed è
$f(1,0,0)=(1,5,1,0)$
$f(0,1,0)=(-1,3,2,0)$
$f(0,0,1)=(-1,0,1,1)$

Ok

solo che poi non mi trovo con la proprietà di linearità perchè nel mio caso $f(u+v)\ne f(u)+f(v)$

E questo come lo hai verificato? Hai trovato l'espressione esplicita di $ f $ ?

Poi dovrebbe essere unica perchè come vettori del dominio ho scelto una base giusto???

Però se scegli un'altra base diversa da quella canonica ottieni un'altra applicazione lineare che soddisfa le condizioni richieste dal problema... e siccome le basi di $ R^3 $ sono infinite... trai le tue conclusioni.

Ciao.

[toguttina]

Effettivamente no.come faccio a far vedere che la f da me definita è lineare? Devo far vedere che valgono le proprietà di linearità,ma nel mio caso, come faccio?
Grazie

[vittorino70]

Il miglior modo di dimostrare l'esistenza di f è...costruirla !
Sia allora (x,y,z) il vettore generico di R^3,puoi scrivere che:
(x,y,z)=x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1)
Detta f l'applicazione lineare cercata ( supposta esistente ) dovrà essere:
f(x,y,z)=xf(1,0,0)+yf(0,1,0)+zf(0,0,1)
Ovvero :
f(x,y,z)=x(1,5,1,0)+y(-1,3,2,0)+z(-1,0,1,1)
Oppure:
f(x,y,z)=(x-y-z,5x+3y,x+2y+z,z)
E questa è l'applicazione richiesta che quindi esiste per davvero ..
Su di essa puoi fare ora tutte le verifiche che vuoi.Quanto all'unicità ti ha già risposto Perplesso.Al massimo puoi
affermare che per una data base di R^3 e per quella immagine la f è unica.Ma se cambia la base la f muta.

[perplesso1]

"toguttina":Effettivamente no.come faccio a far vedere che la f da me definita è lineare? Devo far vedere che valgono le proprietà di linearità,ma nel mio caso, come faccio?
Grazie

In realtà potresti dare per scontata sia l'esistenza che la linearità, perchè in gerale vale questa proposizione:

Dati due spai vettoriali $ V,W $ e sia $ B_V = {e_1,...,e_n} $ una base di $ V $. Fissati arbitrariamnete $ n $ vettori $ {w_1,...w_n} $ di $ W $ esiste un'unica applicazione lineare $ f: V \rightarrow W $ tale che $ f(e_i)=w_i \forall i \in {1,2,...,n} $

Chiaramente quasta applicazione $ f $ si costruisce come ti ha fatto vedere Vittorino70