Applicazioni Lineari
Ciao , mi sono bloccato nell'affrontare determinati esercizi riguardanti l'applicazioni lineari, il primo é
$F: R_(2)[x] -> R_(2)[x] : P(x)-> P(x) -xP'(x)$ e chiede di vedere se è lineare ,e se lo è trovare una base del nucleo e una dell'immagine. Riguardo i primi due punti non ho problemi è sulla base dell'immagine che mi blocco.. per trovare una base scegliamo 2 polinomi (essendo la dimImF=2,ottenuta con il teo delle dimensioni) tra $x^2 , x, 1 $ e vediamo quali di essi da un valore non nullo e quindi calcoliamo l'immagine di ognuno di essi..il mio problema sta proprio in questo trovare il valore dell'immagine per es di $F(x^2)$ nelle soluzioni c'è pura la risposta che è $-x^2$ ma non capisco perché! l'immagine è $-ax^2+c$ e ho quindi posto $f(x^2)=-ax^4 +c$ ma di sicuro non ottengo il risultato..ho provato poi svariati metodi arrivando alla conclusione(vedendo però le soluzioni ossia che la base è $<-x^2,1>$ ) che praticamente possiamo ricavare la base semplicemente vedendo l'immagine e scrivendo di cosa è combinazione lineare..e quindi in questo caso è combinazione lineare di -x^2 e 1 è errato?
l'altro es è il seguente: Dire quante applicazioni Lineari $L: R^3 -> R^3$ tali che L(1,1,0)=(1,1,0), L(1,-1,0)=(1,1,0) L(2,0,0)=(0,0,0) allora il mio modo di procedere è il seguente:
-vedo se i vettori dell'immagine quindi in questo caso (1,1,0) (1,-1,0) (2,0,0) sono una base in tal caso l'applicazione è unica
-dopodiché procedo al sistema ossia a (1,1,0) +b(1,-1,0) +c(2,0,0)=(x,y,z) e da qui non ne traggo nessuna conclusione per cui ho detto che Non esistono essendo il sistema irrisolto..giusto?
in realtà volevo sapere più un metodo generale valido per qualsiasi caso quando i vettori non sono già di per se una base...sempre se esiste "un metodo"
L'ultimo è il seguente: Sia V lo spazio dei vettori geometrici del piano e $theta$ un angolo. Dimostrare che l'applicazione $L_(theta)$, che ad ogni vettore v associa quello ottenuto ruotandolo dell'angolo teta in un verso prestabilito,è un isomorfismo di V.
Qui mi blocco da subito non riuscendo a scrivere l'applicazione.
Attendo vostri consigli. Ciao
$F: R_(2)[x] -> R_(2)[x] : P(x)-> P(x) -xP'(x)$ e chiede di vedere se è lineare ,e se lo è trovare una base del nucleo e una dell'immagine. Riguardo i primi due punti non ho problemi è sulla base dell'immagine che mi blocco.. per trovare una base scegliamo 2 polinomi (essendo la dimImF=2,ottenuta con il teo delle dimensioni) tra $x^2 , x, 1 $ e vediamo quali di essi da un valore non nullo e quindi calcoliamo l'immagine di ognuno di essi..il mio problema sta proprio in questo trovare il valore dell'immagine per es di $F(x^2)$ nelle soluzioni c'è pura la risposta che è $-x^2$ ma non capisco perché! l'immagine è $-ax^2+c$ e ho quindi posto $f(x^2)=-ax^4 +c$ ma di sicuro non ottengo il risultato..ho provato poi svariati metodi arrivando alla conclusione(vedendo però le soluzioni ossia che la base è $<-x^2,1>$ ) che praticamente possiamo ricavare la base semplicemente vedendo l'immagine e scrivendo di cosa è combinazione lineare..e quindi in questo caso è combinazione lineare di -x^2 e 1 è errato?
l'altro es è il seguente: Dire quante applicazioni Lineari $L: R^3 -> R^3$ tali che L(1,1,0)=(1,1,0), L(1,-1,0)=(1,1,0) L(2,0,0)=(0,0,0) allora il mio modo di procedere è il seguente:
-vedo se i vettori dell'immagine quindi in questo caso (1,1,0) (1,-1,0) (2,0,0) sono una base in tal caso l'applicazione è unica
-dopodiché procedo al sistema ossia a (1,1,0) +b(1,-1,0) +c(2,0,0)=(x,y,z) e da qui non ne traggo nessuna conclusione per cui ho detto che Non esistono essendo il sistema irrisolto..giusto?
in realtà volevo sapere più un metodo generale valido per qualsiasi caso quando i vettori non sono già di per se una base...sempre se esiste "un metodo"
L'ultimo è il seguente: Sia V lo spazio dei vettori geometrici del piano e $theta$ un angolo. Dimostrare che l'applicazione $L_(theta)$, che ad ogni vettore v associa quello ottenuto ruotandolo dell'angolo teta in un verso prestabilito,è un isomorfismo di V.
Qui mi blocco da subito non riuscendo a scrivere l'applicazione.
Attendo vostri consigli. Ciao
Risposte
"Simonkb24":
L'ultimo è il seguente: Sia V lo spazio dei vettori geometrici del piano e $theta$ un angolo. Dimostrare che l'applicazione $L_(theta)$, che ad ogni vettore v associa quello ottenuto ruotandolo dell'angolo teta in un verso prestabilito,è un isomorfismo di V.
Qui mi blocco da subito non riuscendo a scrivere l'applicazione.
$V = RR^2$
Credo che tu debba scrivere la matrice di rotazione. Disegna un riferimento cartesiano e posiziona i vettori $(1 , 0)$ e $( 0, 1)$ che formano una base di $RR^2$.
A questo punto prendi un vettore ottenuto facendo ruotare $(1, 0)$ di $theta$ attorno al vettore nullo. Per le nozioni di trigonometria sai che il nuovo vettore è $( cos(theta) , sin(theta) )$. Fai la medesima cosa con il vettore $(0, 1)$: avrai trovato $( - sin(theta) , cos(theta) )$.
Ora scrivi la matrice associata all'endomorfismo $f: RR^2 -> RR^2$ tale che $f(1 , 0 ) = ( cos(theta) , sin(theta) )$ e $f(0 , 1) = ( - sin(theta) , cos(theta) )$ . Quindi:
$M_(E_2) (f) = ((cos(theta) , - sin(theta) ), ( sin(theta) , cos(theta)))$
e se invece la scrivessi come $f:R^2 -> R^2$ tale che $v=(i,j)->f(v)=(icos(theta),jsen(theta))$ ?? ci ho pensato dopo, è errato?
"Simonkb24":
e se invece la scrivessi come $f:R^2 -> R^2$ tale che $v=(i,j)->f(v)=(icos(theta),jsen(theta))$ ?? ci ho pensato dopo, è errato?
Non lo so. Dimmi cosa non ti convince del mio ragionamento...
"Seneca":
[quote="Simonkb24"]e se invece la scrivessi come $f:R^2 -> R^2$ tale che $v=(i,j)->f(v)=(icos(theta),jsen(theta))$ ?? ci ho pensato dopo, è errato?
Non lo so. Dimmi cosa non ti convince del mio ragionamento...[/quote]
nulla volevo sapere se andava bene come alternativa =)
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