Applicazioni lineari

[AlexlovesUSA]

Sto studiando la parte delle applicazioni lineari. So come verificare se un'appl. è omomorfismo, so riconoscere se è endomorfismo, so cosa è l'immagine e il nucleo, il teorema della dimensione, la suriettività, iniettività, biettività. Sono arrivato alla parte di Matrice associata ad un omomorfismo. So cosa è come si trova e anche come si trova la matrice A' nel caso in cui venga poi richiesto di calcolare rispetto a nuove basi ma sono confuso riguardo a questi esercizi negli endomorfismi per esempio ho questo esercizio:
Dato questo endomorfismo $RR_3[x] -> RR_3[x]$ definito dalla seguente relazione $(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3) -> (a_3-a_1x-a_2x^2+a_0x^3)$ determinare la matrice associata ad f rispetto alla base canonica $B_C$ e poi A' rispetto alla base $B'={1+x^2,1-x^3,1+x^2-x^3,1+x-x^3}.

Non riesco a determinare la matrice A. Io negli altri casi avevo posto $f(v_i)$, dove v è un vettore della base data o della base canonica, uguale aii valori che trovavo dalla relazione sostituendo i valori di v e le mettevo come colonne nella matrice A. Ma adesso la base canonica di $RR_3[x]$ è questa ${1,x,x^2,x^3}$ come faccio a risolvere le relazioni e a trovare la matrice A?

So che la matrice A deve essere questa $A= ( ( 0 , 0 , 0 , 1 ),( 0 , -1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , -1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 , 0 ) ) $

[AlexlovesUSA]

Ragazzi sono in totale confusione. Oggi ho provato a fare un esercizio che mi chiedeva, dato un endomorfisfmo nella spazio $R_2[x]$ e data la base $B={1-x,-1-x^2,1+x}$, determinare la matrice nuova B' utilizzando la mtrice di passaggio $P^(-1)= ( ( 1 , -1 , 1 ),( -1 , 0 , 1 ),( 1 , -1 , -1 ) ) $. Come faccio? Il problema è che non mi è per nnt chiaro il concetto di cambiamento di base e matrici di passaggio negli esercizi, specialmente nello spazio dei polinomi.

[cirasa]

A proposito del primo esercizio, la risoluzione è sempre la stessa. Basta ricordare la definizione di matrice associata.
Prendi il primo vettore della base canonica che è $1$, ci calcoli l'immagine che $x^3$ e lo scrivi come combinazione lineare dei vettori della base canonica ovvero
$x^3=0 \cdot 1 + 0 \cdot x +0 \cdot x^2 +1 \cdot x^3$
Quindi la prima colonna della tua matrice associata sarà $((0),(0),(0),(1))$.
Prosegui tu.