Applicazioni lineari
Il quesito credo sia abbastanza semplice:
ho bisogno di capire cosa sto facendo e perchè il ragionamento è errato, grazie in anticipo a chi
si cimenterà, l'esercizio affermava:
Sia $v=(v_1,v_2,v_3)$ tale che $R^3=$ con $(v_1,v_2,v_3)$ vettori dati scritti in coordinate
rispetto la base canonica;
sia $F:R^3 -> R^3 , F(x,y,z)=(x+z, x+2y, 2x+3y+z)$ trovare $M_v(F)$
La soluzione dice semplicemente di applicare la formula:
$M_v(F)=M_{v,e}(I)*M_e(F)*M_{e,v}(I)$
Ma dato che per trovare $M_e(F)$ devo mettere in colonna $( F(e_1) F(e_2) F(e_3) )$
con $e_1 e_2 e_3$ vettori della base canonica, per trovare $M_v(F)$ non posso mettere
in colonna i vettori $( F(v_1) F(v_2) F(v_3) )$ ?
E in ogni caso $( F(v_1) F(v_2) F(v_3) )$ con $F(v_j)$ vettore colonna che matrice è?!
Grazie, spero risponderete!
ho bisogno di capire cosa sto facendo e perchè il ragionamento è errato, grazie in anticipo a chi
si cimenterà, l'esercizio affermava:
Sia $v=(v_1,v_2,v_3)$ tale che $R^3=
rispetto la base canonica;
sia $F:R^3 -> R^3 , F(x,y,z)=(x+z, x+2y, 2x+3y+z)$ trovare $M_v(F)$
La soluzione dice semplicemente di applicare la formula:
$M_v(F)=M_{v,e}(I)*M_e(F)*M_{e,v}(I)$
Ma dato che per trovare $M_e(F)$ devo mettere in colonna $( F(e_1) F(e_2) F(e_3) )$
con $e_1 e_2 e_3$ vettori della base canonica, per trovare $M_v(F)$ non posso mettere
in colonna i vettori $( F(v_1) F(v_2) F(v_3) )$ ?
E in ogni caso $( F(v_1) F(v_2) F(v_3) )$ con $F(v_j)$ vettore colonna che matrice è?!
Grazie, spero risponderete!
Risposte
Quella è una matrice che rappresenta un'altra applicazione lineare...
in questi casi è molto utile applicare dapprima la teoria e cercare di capirla a fondo.
La matrice che rappresenta un'applicazione lineare rispetto a due basi $B,B'$, è una matrice i cui vettori colonna sono le componenti, rispetto a $B'$ dell'immagine di un vettore di $B$.
in questo caso abbiamo $F(v_i)=av_1+bv_2+cv_3$ e questo per ogni $i=1,2,3$
se questo ti è chiaro basterebbe applicare la teoria e fare un pò di calcoli per giungere alla soluzione, senza passare da quella proposta.
nel caso della base canonica, "funziona" scrivere direttamente le componenti perchè i vettori sono in quella forma $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$, ma la teoria è sempre la stessa. Nel caso di un'altra base non è così immediato, perchè devi trovare le varie componenti.
Quanto alla soluzione proposta, ma riferimento ad una proposizione, che sicuramente è presente nel tuo libro, e che ti snellisce i calcoli, ma concettualmente è la stessa cosa di quanto ti ho detto sopra.
Se hai altri dubbi chiedi pure!
in questi casi è molto utile applicare dapprima la teoria e cercare di capirla a fondo.
La matrice che rappresenta un'applicazione lineare rispetto a due basi $B,B'$, è una matrice i cui vettori colonna sono le componenti, rispetto a $B'$ dell'immagine di un vettore di $B$.
in questo caso abbiamo $F(v_i)=av_1+bv_2+cv_3$ e questo per ogni $i=1,2,3$
se questo ti è chiaro basterebbe applicare la teoria e fare un pò di calcoli per giungere alla soluzione, senza passare da quella proposta.
nel caso della base canonica, "funziona" scrivere direttamente le componenti perchè i vettori sono in quella forma $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$, ma la teoria è sempre la stessa. Nel caso di un'altra base non è così immediato, perchè devi trovare le varie componenti.
Quanto alla soluzione proposta, ma riferimento ad una proposizione, che sicuramente è presente nel tuo libro, e che ti snellisce i calcoli, ma concettualmente è la stessa cosa di quanto ti ho detto sopra.
Se hai altri dubbi chiedi pure!
Intanto grazie per esserti cimentato!
Dunque, ci ho pensato un po' su ieri, arrivando a questa conclusione che penso sia in accordo per
alcuni tratti alla tua:
la soluzione data dell'esercizio ovvero
$M_v(F)=M_{v,e}(I)*M_e(F)*M_{e,v}(I)$
è chiara perchè $M_{w,v}(FoG)=M_{w,u}(F)*M_{u,v}(G)$ come da proposizione come dicevi,
mi interessava pero' capire cosa fosse la matrice che ottenevo del tipo
$( F(v_1) F(v_2) F(v_3) )$ tu dici che una matriche che rappresenta un'altra applicazione:
secondo me rappresenta sempre $F$, in particolare se chiamo lo spazio generato
$S=< F(v_1), F(v_2), F(v_3) >$ ed il vettore base $s={ F(v_1), F(v_2), F(v_3) }$
allora la matrice $( F(v_1) F(v_2) F(v_3) )$ risulta essere $M_{v,s}(F)$
ti torna?
Dunque, ci ho pensato un po' su ieri, arrivando a questa conclusione che penso sia in accordo per
alcuni tratti alla tua:
la soluzione data dell'esercizio ovvero
$M_v(F)=M_{v,e}(I)*M_e(F)*M_{e,v}(I)$
è chiara perchè $M_{w,v}(FoG)=M_{w,u}(F)*M_{u,v}(G)$ come da proposizione come dicevi,
mi interessava pero' capire cosa fosse la matrice che ottenevo del tipo
$( F(v_1) F(v_2) F(v_3) )$ tu dici che una matriche che rappresenta un'altra applicazione:
secondo me rappresenta sempre $F$, in particolare se chiamo lo spazio generato
$S=< F(v_1), F(v_2), F(v_3) >$ ed il vettore base $s={ F(v_1), F(v_2), F(v_3) }$
allora la matrice $( F(v_1) F(v_2) F(v_3) )$ risulta essere $M_{v,s}(F)$
ti torna?
Se tu scrivessi i vettori immagine come colonne della matrice avresti la matrice della $F$ da una base $B$ alla base canonica $B_c$. ma questo funziona solo con la base canonica, in assoluto non è vero, perchè le componenti di tali vettori in una qualsiasi base, diversa da quella canonica, non sono esattamente quelle.
comunque hai ragione, dovevo essere più chiaro.
Stasera comunque provo a pensarci meglio, ma mi sembra corretto!
comunque hai ragione, dovevo essere più chiaro.
Stasera comunque provo a pensarci meglio, ma mi sembra corretto!
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