Applicazioni lineari...
Salve gente!
Ho dei dubbi riguardo le appl. lineari... Grazie in anticipo delle vostre risposte!
1) Esistono applicazioni lineari da R7 in R4 il cui nucleo ha dimensione 3?
2) E' vero che ogni applicazione lineare surgettiva (o suriettiva) da M2,4 (R) in R7[t] è un isomorfismo?
Ho dei dubbi riguardo le appl. lineari... Grazie in anticipo delle vostre risposte!
1) Esistono applicazioni lineari da R7 in R4 il cui nucleo ha dimensione 3?
2) E' vero che ogni applicazione lineare surgettiva (o suriettiva) da M2,4 (R) in R7[t] è un isomorfismo?
Risposte
ricordati il th del rango ...
il th del rango purtroppo non lo conosco...
è una domanda teorica.
è una domanda teorica.
Io considererei la proiezione
$P: RR^7 rarr RR^4: (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7) rarr (x_4,x_5,x_6,x_7)$
$P$ è lineare, inoltre si ha $Im(P)=RR^4$
Dal teorema del rango si ha: $dim(RR^7)=dim(ker(P))+dim(Im(P))$ da cui $dim(ker(P))=3$.
Beh se proprio non conosci il teorema del rango puoi sempre calcolarti $ker(P)$, trovarti una sua base e vedrai che ha dimensione $3$.
$P: RR^7 rarr RR^4: (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7) rarr (x_4,x_5,x_6,x_7)$
$P$ è lineare, inoltre si ha $Im(P)=RR^4$
Dal teorema del rango si ha: $dim(RR^7)=dim(ker(P))+dim(Im(P))$ da cui $dim(ker(P))=3$.
Beh se proprio non conosci il teorema del rango puoi sempre calcolarti $ker(P)$, trovarti una sua base e vedrai che ha dimensione $3$.
Grazie deserto!
Ahhhh scusa ma per "th del rango" intendevo un'altra cosa! cioè nn c'ho pensato che th=teorema!
Sulla seconda domanda hai qualche idea?
Ahhhh scusa ma per "th del rango" intendevo un'altra cosa! cioè nn c'ho pensato che th=teorema!
Sulla seconda domanda hai qualche idea?
Per la seconda domanda
Tu sai che $dim(RR^7)=7$ e che $dim(M_24 (RR))=8$
Sai anche che affinchè due spazi vettoriali siano isomorfi devono avere la stessa dimensione, pertanto credo proprio che la risposta al tuo quesito non sia positiva.
Tu sai che $dim(RR^7)=7$ e che $dim(M_24 (RR))=8$
Sai anche che affinchè due spazi vettoriali siano isomorfi devono avere la stessa dimensione, pertanto credo proprio che la risposta al tuo quesito non sia positiva.
R7[t] è la dimensione del polinomio... il 7 è pedice non apice...
quindi la dimensione del polinomio è 7+1=8 e quindi è un isomorfismo... giusto?
quindi la dimensione del polinomio è 7+1=8 e quindi è un isomorfismo... giusto?
esatto..se è suriettiva,avendo la stessa dimensione è anche iniettiva e quindi è biettiva.
ok grazie 1000!
Iniettiva vuol dire che il ker cioè il nucleo contiene il solo vettore nullo, invece suriettiva cosa vuol dire?
Se è sia iniettiva che suriettiva allora si dice che è biettiva.
Iniettiva vuol dire che il ker cioè il nucleo contiene il solo vettore nullo, invece suriettiva cosa vuol dire?
Se è sia iniettiva che suriettiva allora si dice che è biettiva.
Suriettiva in termini di applicazioni lineari significa in pratica che $Im$ coincide con il codominio.
esatto..iniettiva vuol dire che il nucleo è banale,suriettiva che l'immagine dell'applicazione ha la stessa dimensione del codominio.. E se è iniettiva,vuol dire che la dimensione dello spazio di partenza coincide con la dimensione dell'immagine,la quale,se è suriettiva,coincide con il codominio.
il domonio è la partenza e il codominio è l'arrivo giusto??? da ---> a
sisi!!
grazie ragazzi! molto chiari siete stati
già ce ci sono faccio un'altra domanda..
esiste un sottospazio vettoriale V C R^8 di dimensione 4?
esiste un sottospazio vettoriale V C R^8 di dimensione 4?
un sottospazio vettoriale V sottoinsieme di $RR^8$ di dimensione 4?
già... la domanda è così.
no perchè R^8 ha dimensione 8 e non 4 giusto?
no perchè R^8 ha dimensione 8 e non 4 giusto?
ma nn c'entra niente..puoi crearti tu un qualsiasi sottospazio di $RR^n$ facendogli assumere una qualunque dimensione(ovviamente che deve essere strettamente minore di n). Se in $R^8$ poni queste condizioni; $x_5=x_6=x_7=x_8=0$ questo è un sottospazio di dimensione 4..
ma è falsa perchè se il sottospazio vettoriale ha dim 4 non può contenere un spazio vett di R^8...
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