Applicazioni lineari

[hastings1]

é data un'applicazione lineare $f:RR^3 rarr \mathcal{M}(2xx2, RR)$
Conosco una base di $RR^3$, $\mathcal{B}$;
conosco le immagini dei vettori della base $\mathcal{B}$;
conosco una base di $\mathcal{M}(2xx2, RR)$, $\mathcal{B'}$;

Trovata la matrice A, associata all'applicaz lineare, come faccio a:
1) dire se un dato vettore $v in RR^3$ appartiene o no al $Ker \ f$?
2) dire se una data matrice $H in \mathcal{M}(2xx2, RR)$ appartiene a $Im \ f$?

[Chevtchenko]

"hastings":é data un'applicazione lineare $f:RR^3 rarr \mathcal{M}(2xx2, RR)$
Conosco una base di $RR^3$, $\mathcal{B}$;
conosco le immagini dei vettori della base $\mathcal{B}$;
conosco una base di $\mathcal{M}(2xx2, RR)$, $\mathcal{B'}$;

Trovata la matrice A, associata all'applicaz lineare, come faccio a:
1) dire se un dato vettore $v in RR^3$ appartiene o no al $Ker \ f$?
2) dire se una data matrice $H in \mathcal{M}(2xx2, RR)$ appartiene a $Im \ f$?

PS: la matrice A dovrebbe essere $A=([0,0,0],[0,0,0],[1,0,2],[0,1,1])$

1) Se $Av = 0$ allora $v$ sta in $\Ker f$, altrimenti no!

[hastings1]

Allora nel mio caso $v !in Ker(f)$.
Qualcun altro potrebbe aiutarmi per la domanda 2?

[rubik2]

una matrice M si trova nell'immagine se esiste $vecvinRR^3$ tale che $M=Avecv$

[hastings1]

nel mio caso $M=([-2, 3],[3, 2])$.

Essendo $A=([0,0,0],[0,0,0],[1,0,2],[0,1,1])$, dovrò vedere se il seguente sistema è compatibile o no:
$M=Avec{v}$
Quindi
$([0,0,0],[0,0,0],[1,0,2],[0,1,1])([x],[y],[z])=([-2],[3],[3],[2])$

Da cui derivano le seguenti matrice dei coeff e matrice completa

$A=([0,0,0],[0,0,0],[1,0,2],[0,1,1]) \ \ \ $ , $ \ \ (A|B)=([0,0,0, \ |-2],[0,0,0,|3],[1,0,2,|3],[0,1,1,|2])$

I loro ranghi non coincidono quindi per il teorema di Rouché-Capelli, il Sistema risulta incompatibile, quindi $M !in Im(f)$

E' giusto così oppure ho sbagliato?

[rubik2]

va bene se la base dello spazio delle matrici è quella canonica.

edit: (mi pare)

[hastings1]

Cavolo! Ma lo sai che è proprio quello che ha detto l'insegnante?
Perciò devo correre alle seguenti formule:

$\mathcal{B'}=\mathcal{B}P$, P è la matrice di passaggio da B a B'

$\mathcal{X'}=P^{-1}\mathcal{X}$, X sono le coordinate rispetto alla base B.

(B è la base canonica, B' è la base di R^n)

[rubik2]

con le formule mi sono un po' perso. in ogni caso o scrivi vettore e matrice nelle rispettive basi che stai utilizzando o scrivi la matrice di trasformazione nelle basi canoniche. ciao