Applicazioni lineari

[ffeeddee95]

Come posso trovare un esempio di applicazione lineare conoscendo il kernel o l’immagine?
Ad esempio ho un esercizio che mi chiede di trovare un esempio di applicazione lineare $f: RR^3 \to RR^2$ suriettiva sapendo che ker(f)=Span((1,1,1)).
Come potrei fare? Grazie per l’aiuto.

[Noodles1]

[strike][/strike]

"ffeeddee95":
... conoscendo il kernel o l’immagine ...

Veramente, visto che l'esempio richiede un'applicazione lineare suriettiva, si conosce il kernel e l'immagine, non il kernel o l'immagine (nel linguaggio parlato o è tipicamente esclusivo). Ad ogni modo, trattandosi di un esercizio piuttosto semplice, sarebbe meglio che tu postassi almeno un tentativo.

[ffeeddee95]

So che in questo caso il nucleo deve avere dimensione 1 mentre l’immagine dimensione 2, ma poi non saprei come procedere…

[Noodles1]

Per quanto riguarda la condizione sul nucleo:

$f[[1],[1],[1]]=[[0],[0]]$

Per quanto riguarda la condizone sull'immagine, dovendo essere suriettiva, solo par fare un esempio:

$f[[1],[0],[0]]=[[1],[0]]$

$f[[0],[1],[0]]=[[0],[1]]$

Non è un caso che i tre vettori sottostanti:

$[[1],[1],[1]]$

$[[1],[0],[0]]$

$[[0],[1],[0]]$

rappresentino una base dello spazio di partenza e che i due vettori sottostanti:

$[[1],[0]]$

$[[0],[1]]$

rappresentino una base dello spazio di arrivo.

[ffeeddee95]

Quindi potrei dire che $f(x, y, z)=(x-y, y-z)$ ?

[Noodles1]

"ffeeddee95":
... potrei dire che ...

In che senso? Ad ogni modo, poichè:

$[[0],[0],[1]]=[[1],[1],[1]]-[[1],[0],[0]]-[[0],[1],[0]]$

necessariamente:

$f[[0],[0],[1]]=f[[1],[1],[1]]-f[[1],[0],[0]]-f[[0],[1],[0]] rarr$

$rarr f[[0],[0],[1]]=[[0],[0]]-[[1],[0]]-[[0],[1]] rarr$

$rarr f[[0],[0],[1]]=[[-1],[-1]]$

e quindi, rispetto alle basi naturali:

$f=[[1,0,-1],[0,1,-1]] rarr$

$rarr f(x,y,z)=(x-z,y-z)$

Insomma, se ti stai riferendo al mio esempiio e stai considerando le basi naturali, hai certamente commesso un qualche errore.