Applicazioni lineari
Salve ragazzi ho un dubbio, sto provando a risolvere questo esercizio:
data l'applicazione lineare R^3-->-R^2 definita da f(x,y,z)=(x-y-z,x+2z) determinare
basi e dimensioni di ker f e Im f
Per calcolare la base di Im f devo trovare,come mi ha suggerito un'utente , la matrice associata rispetto alla base canonica.In questo caso non riesco a capire se ,per il calcolo della matrice associata (che poi mi permetterà di individuare una base dell'immagine), occorre considerare la matrice associata rispetto alla base canonica di R^2 o la matrice associata rispetto alla base canonica di R^3.Non riesco a capire quale base canonica devo scegliere , per poi trovare la base dell'immagine.Grazie
data l'applicazione lineare R^3-->-R^2 definita da f(x,y,z)=(x-y-z,x+2z) determinare
basi e dimensioni di ker f e Im f
Per calcolare la base di Im f devo trovare,come mi ha suggerito un'utente , la matrice associata rispetto alla base canonica.In questo caso non riesco a capire se ,per il calcolo della matrice associata (che poi mi permetterà di individuare una base dell'immagine), occorre considerare la matrice associata rispetto alla base canonica di R^2 o la matrice associata rispetto alla base canonica di R^3.Non riesco a capire quale base canonica devo scegliere , per poi trovare la base dell'immagine.Grazie
Risposte
Hai libertà di scelta e quindi determini la matrice $A_f$ rispetto alla base ${(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$ di $RR^3$ e la base ${(1,0),(0,1,)}$ di $RR^2$. La matrice ha dimensione $2x3$!
la base da dove la estraggo però?dalla matrice in R3 o in R2?
$f(x,y,z)=((x-y-z),(x+2z))$
Scrivi la matrice raprresentativa dell'applicazione lineare:
$A_f=((1,-1,-1),(1,0,2))$
Per trovare $kerf$ devi risolvere il sistema associato. Non devi fare nulla perché hai già uno zero nella seconda riga.
$x=-2z$
$x-y-z=0$
$-2z-y-z=0$
$x=-2z$
$y=-3z$
Quindi i vettori di $Kerf$ sono tutti del tipo $z*(-2,-3,1)$
Per $z=1$ hai una base di $Kerf$
$B(Kerf)={(-2,-3,1)}$
E la dimensione è $dim(Kerf)=1$
Poi, dalla formula:
$dimV=dimKerf+dimImf$
Hai
$dim(Imf)=3-1=2$
Quindi una base di $Imf$ saranno due colonne linearmente indipendenti della matrice (quelle dove stanno gli "elementi speciali"). Ad esempio le prime due:
$B(Imf)={(1,1), (-1,0)}$
Scrivi la matrice raprresentativa dell'applicazione lineare:
$A_f=((1,-1,-1),(1,0,2))$
Per trovare $kerf$ devi risolvere il sistema associato. Non devi fare nulla perché hai già uno zero nella seconda riga.
$x=-2z$
$x-y-z=0$
$-2z-y-z=0$
$x=-2z$
$y=-3z$
Quindi i vettori di $Kerf$ sono tutti del tipo $z*(-2,-3,1)$
Per $z=1$ hai una base di $Kerf$
$B(Kerf)={(-2,-3,1)}$
E la dimensione è $dim(Kerf)=1$
Poi, dalla formula:
$dimV=dimKerf+dimImf$
Hai
$dim(Imf)=3-1=2$
Quindi una base di $Imf$ saranno due colonne linearmente indipendenti della matrice (quelle dove stanno gli "elementi speciali"). Ad esempio le prime due:
$B(Imf)={(1,1), (-1,0)}$
Il libro mi da come risultato : base del ker(2,3,-1). Come fa ad arrivare a questa base? Essendo infinite le basi sarà giusto anche il tuo risultato?
Come visto sopra tutti gli elementi del nucleo sono esprimibili nella forma:
$z*(-2,-3,1)$
Il libro sceglie come valore di $z=-1$ per estrarre una base, ottenendo il vettore opposto a quello che ho scelto io.
$z*(-2,-3,1)$
Il libro sceglie come valore di $z=-1$ per estrarre una base, ottenendo il vettore opposto a quello che ho scelto io.
per quanto riguarda la base scegliendo (1,1) ed (-1,0) posso esprimere questi vettori come combinazione lineare della base canonica in R2 e concludere che l'immagine è R2?
Si. Puoi anche scegliere i due vettori della base canonica. Come ti ha scritto weblan.
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