Applicazioni lineari
Salve, non riesco a risolvere questo esercizio :
sia f:M(2;R)--->R^2 l'applicazione lineare definita da
f $ ( ( x , y ),( z , t ) ) $ = (t-x,z+y).
Devo trovare la base e la dimensione di ker f e Im f.
Procedo in questo modo :
1)risolvo il sistema lineare omogeneo ed estraggo due basi che dovrebbero essere quelle del nucleo :
$ b=( ( 1, 0 ),( 0 , 1 ) ) b1=( ( 0, 1 ),( -1 , 0 ) ) $
a questo punto deduco che la dim ker f = 2, però applicando il teorema della nullità del rango la dimensione del sottospazio di partenza deve essere uguale alla somma delle dimensioni del nucleo e dell'immagine:
2=2+dim Im
quindi la dimensione dell'immagine è 0!errato la dimensione dell'immagine è anch'essa 2 e non capisco proprio perché sia cosi.Poi perché im f = R^2?
Perfavore aiutatemii
sia f:M(2;R)--->R^2 l'applicazione lineare definita da
f $ ( ( x , y ),( z , t ) ) $ = (t-x,z+y).
Devo trovare la base e la dimensione di ker f e Im f.
Procedo in questo modo :
1)risolvo il sistema lineare omogeneo ed estraggo due basi che dovrebbero essere quelle del nucleo :
$ b=( ( 1, 0 ),( 0 , 1 ) ) b1=( ( 0, 1 ),( -1 , 0 ) ) $
a questo punto deduco che la dim ker f = 2, però applicando il teorema della nullità del rango la dimensione del sottospazio di partenza deve essere uguale alla somma delle dimensioni del nucleo e dell'immagine:
2=2+dim Im
quindi la dimensione dell'immagine è 0!errato la dimensione dell'immagine è anch'essa 2 e non capisco proprio perché sia cosi.Poi perché im f = R^2?
Perfavore aiutatemii
Risposte
Qual è la la dimensione di $M(2,RR)$?
Secondo me è 2 ma mi rendo conto che dovrebbe essere 4 affinché funzioni tutto, ma non ne sono sicuro
Altro modo per accorgersi che il tuo ragionamento è sbagliato: se la dimesnsione del $\ker$ fosse uguale a quella dello spazio di partenza, allora per linearità la tua applcazione sarebbe l'applicazione nulla, ma non è questo il caso.
Chiaramente "deve" essere 4, e lo è perché si può esibire un isomorfismo ben preciso e molto semplice tra lo spazio delle matrici quadrate due per due (a cofficienti in $RR$) e lo spazio $RR^4$.
E' immediato verificare che si tratta di un isomorfismo, pertanto $\dim(M(2,RR))=\dim(RR^4)=4$.
Oltretutto, senza esibire l'isomorfismo, era sufficiente "guardare in faccia" lo spazio delle matrici e notare che ogni matrice \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \) è combinazione lineare delle matrici \( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \) , \( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \) , \( \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \) , \( \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \) e i coefficienti della combinazione sono $(a,b,c,d)$.
Perciò, nel tuo caso specifico, l'immagine ha dimensione $2$ per il thm delle dimensioni.
Spero ti sia un po' più chiaro
Chiaramente "deve" essere 4, e lo è perché si può esibire un isomorfismo ben preciso e molto semplice tra lo spazio delle matrici quadrate due per due (a cofficienti in $RR$) e lo spazio $RR^4$.
$\varphi: M(2,RR) \rightarrow RR^4,$ \( \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \) $\mapsto [a,b,c,d]^T$
E' immediato verificare che si tratta di un isomorfismo, pertanto $\dim(M(2,RR))=\dim(RR^4)=4$.
Oltretutto, senza esibire l'isomorfismo, era sufficiente "guardare in faccia" lo spazio delle matrici e notare che ogni matrice \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \) è combinazione lineare delle matrici \( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \) , \( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \) , \( \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \) , \( \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \) e i coefficienti della combinazione sono $(a,b,c,d)$.
Perciò, nel tuo caso specifico, l'immagine ha dimensione $2$ per il thm delle dimensioni.
Spero ti sia un po' più chiaro
Perché l'immagine è tutto R^2?come faccio a trovarmi una base di imf?
L'immagine è un sottospazio dello spazio di arrivo, e in questo caso hanno la stessa dimensione. Per estrarre una base ti basta estrarre due colonne lin indipendenti della matrice rappresentativa rispetto alla base canonica, e vedi subito che questi sono prorio i vettori della base canonica di $RR^2$.
Quindi se le basi dell'immagine sono le basi canoniche di R^2 significa che l'immagine è interamente R^2?poiché quelle basi posso generare tutto R^2 che è il sottospazio di "arrivo" cioè l'immagine di f?
Intanto non è *le* basi, ma *una* base.
Se scrivessi, come ti ho detto, la matrice associata all'applciazione lineare rispetto alla base canonica, allora vedresti subito che due (ne prendi due perché hai mostrato che l'immagine ha dimensione 2) colonne lin indipendenti sono $[1,0],[0,1]$ e quindi la base dell'immagine è generata da questi due vettori.
Ma questi sono i vettori che compongono la base canonica di $RR^2$. Ossia, *ogni* vettore $v$ di $RR^2$ si scrive in modo unico come combinazione lineare di questi. Quindi puoi concluedere che l'immagine coincide con $RR^2$.
Se scrivessi, come ti ho detto, la matrice associata all'applciazione lineare rispetto alla base canonica, allora vedresti subito che due (ne prendi due perché hai mostrato che l'immagine ha dimensione 2) colonne lin indipendenti sono $[1,0],[0,1]$ e quindi la base dell'immagine è generata da questi due vettori.
Ma questi sono i vettori che compongono la base canonica di $RR^2$. Ossia, *ogni* vettore $v$ di $RR^2$ si scrive in modo unico come combinazione lineare di questi. Quindi puoi concluedere che l'immagine coincide con $RR^2$.
quello che ho scritto io è giusto o sbagliato?è inutile che mi scrivi di sopra se vuoi aiutarmi dimmi cosa sbaglio al posto di ripetere le stesse cose
Sì, ma oggettivamente è scritto male. E, per aiutarti, ho pensato bene di cercare di riscrivere quello che hai detto, ma in modo più chiaro e possibilmente corretto. Ti ho anche scritto come *renderti conto* che la base è esattamente quella che ti ho detto, anche perché credo che se uno ti cambiasse l'esercizio di una virgola non sapresti nemmeno come andare avanti. Quindi non mi pare tu abbia tanto da guadagnarci ad essere insofferente
Grazie
Prego
Un'ultima cosa come faccio a trovare la matrice associata rispetto alla base canonica? Dovrebbe essere unaatrice 4x 2 giusto?
No, è una 2x4.
Prendi le matrici che corrispondo a $e_1, \ldots, e_4$ e scrivi per colonne i vettori risultanti. E' molto semplice. Ti faccio il conto per il primo.
Prendi \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}. Qui $x=1,y=0,z=0,t=0$. Quindi, se chiamo A la matrice sopra, allora $f(A)=(0-1,0+0)=(-1,0)$. E lo metti in colonna.
Fai la stessa cosa con le altre 3 matrici che ti avevo scritto nel mio secondo messaggio e avrai la matrice associata.
Prendi le matrici che corrispondo a $e_1, \ldots, e_4$ e scrivi per colonne i vettori risultanti. E' molto semplice. Ti faccio il conto per il primo.
Prendi \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}. Qui $x=1,y=0,z=0,t=0$. Quindi, se chiamo A la matrice sopra, allora $f(A)=(0-1,0+0)=(-1,0)$. E lo metti in colonna.
Fai la stessa cosa con le altre 3 matrici che ti avevo scritto nel mio secondo messaggio e avrai la matrice associata.
2x 4 scusa?
Non avevo letto, sorry, grazie mille
Prego.
Per rispondere al tuo PM, e soprattutto per impratichirti, prova a fare questo esercizietto con un'applicazione lineare definita sullo spazio dei polinomi, che indico con $RR^2[t]$. Dove $[t]$ sta ad indicare l'indeterminata. Quindi $p(t)$ sarà un generico polinomo di grado $2$, ossia $p(t)=at^2+bt+c$.
Sia $F: RR^2[t] \rightarrow RR^4$ definita da$F(p(t))=[p(0),p(1),p'(0),p'(1)]$
1. Scrivere la matrice associata a $F$ rispetto alla base canonica
2. Determinare il kernel e l'immagine di $F$
3. Discutere l'invertibilità di $F$.
4. Il vettore $2e_1+2e_2 -e_3 +e_4$ appartiene all'immagine di $F$?
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