Applicazioni lineari!!
Buonasera, sto riscontrando molti problemi con questo esercizio. Il testo è il seguente:
SI consideri l'applicazione lineare LA:R4→R5 definita da LA (X)=AX con A= A=\begin{pmatrix} 5 & 9 & -22 & 0 \\ -1 & -2 &7 & 1 \\ 3 & 4 & -10 & -1 \\ 1 & 3 & -5 & -2 \end{pmatrix}.
1)Si trovi una base del Nucleo di La
2) Si trovi una base dell'immagine di La
Non so proprio come iniziare, sareste gentilissimi se mi aiutaste a capire come risolverlo. Grazie mille
SI consideri l'applicazione lineare LA:R4→R5 definita da LA (X)=AX con A= A=\begin{pmatrix} 5 & 9 & -22 & 0 \\ -1 & -2 &7 & 1 \\ 3 & 4 & -10 & -1 \\ 1 & 3 & -5 & -2 \end{pmatrix}.
1)Si trovi una base del Nucleo di La
2) Si trovi una base dell'immagine di La
Non so proprio come iniziare, sareste gentilissimi se mi aiutaste a capire come risolverlo. Grazie mille
Risposte
La matrice è $4xx4$, quindi l'applicazione sarà un endomorfismo $L_A : qquad RR^4 ->RR^4$
Per il nucleo è sufficiente la definizione, mentre per l'immagine prova e vedere cosa succede calcolando $f(e_i)$ per $i=1,2,3,4$ e poi sfrutta la definizione di base.
Per il nucleo è sufficiente la definizione, mentre per l'immagine prova e vedere cosa succede calcolando $f(e_i)$ per $i=1,2,3,4$ e poi sfrutta la definizione di base.
Ciao! Grazie mille per la risposta. Ho utilizzato il metodo di eliminazione gaussiana. Va bene?
Per fare cosa? 
ciao! L'ho utilizzato per trovare il rango della matrice, ed essendo il rango coincidente con la dimensione dell'immagine, risulta che la dimensione dell'immagine è 4. Dunque per il teorema della dimensione, Dim(KerLa)= Dim(La)- Dim(Im(La)) e dunque la base del nucleo è data dal vettore nullo. Ho sbagliato?
"alix12":
L'ho utilizzato per trovare il rango della matrice, ed essendo il rango coincidente con la dimensione dell'immagine, risulta che la dimensione dell'immagine è $4$. Dunque per il teorema della dimensione
$dim(Ker(L_A))= dim(RR^4)-dim(Im(L_A))=4-4=0$
Ottimo.
"alix12":
dunque la base del nucleo è data dal vettore nullo.
Per definizione, una base è un insieme di generatori linearmente indipendenti. Il vettore nullo è l.i. ?
Sì, è vero, non ci stavo pensando. Dunque la base del nucleo è (0,0,0,0). Giusto?
"alix12":
Sì, è vero, non ci stavo pensando. Dunque la base del nucleo è (0,0,0,0). Giusto?
La base è, prima di tutto, un insieme, quindi i vettori contenuti sono racchiusi tra le parentesi graffe ${e_1,...,e_n}$.
Poi se dici che il vettore nullo $bar0$ non è l.i., perché proponi come base ${(0,0,0,0)}$: vorresti intendere che $bar0ne(0,0,0,0)$?
No, ma essendo il Ker(La)=0, non so definire quale sia la base del nucleo 
Ok. Ma a rigor di logica se un insieme contenete $bar0$ è l.d. e la definizione di base richiede che l'insieme sia l.i., segue che nessun insieme contente il vettore nullo può costituire una base. La domanda può avere due risposte:
[list=1]il ker non ha base (quella che ho sempre saputo essere la verità assoluta
) [/list:o:2zcl47p4]
[list=2]la base del ker è l'insieme vuoto (quella che ho scoperta su questo forum qualche settimana fa)[/list:o:2zcl47p4]
il tutto dipende da come è stato impostato il tuo corso.
[list=1]il ker non ha base (quella che ho sempre saputo essere la verità assoluta
) [/list:o:2zcl47p4][list=2]la base del ker è l'insieme vuoto (quella che ho scoperta su questo forum qualche settimana fa)[/list:o:2zcl47p4]
il tutto dipende da come è stato impostato il tuo corso.
Grazie mille Magma. Credo che la risposta sia la seconda a questo punti
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