Applicazioni Lineari
Ciao a tutti
rieccomi qui con un 'altro problema...
Testo
sia $ f:RR^4->RR^3$ l'a.l. definita $f=(a,b,c,d)$ = $((a-b+d),(ha+c+d),(b+c))$ con h parametro reale.
A) Determinare al variare di h una base una dimensione di $ker(f)$ e $ Im(f)$.
iniziamo col dire che la matrice associata a f è
$((a-b+d),(ha+c+d),(b+c))$ $->$ $((1,1,0,1),(h,0,1,1),(0,1,1,0))$
eliminazione di gauss diventa
$((1,1,0,1),(h,0,1,1),(0,1,1,0))$ $->$ $((1,1,0,1),(0,h,1,1-h),(0,0,h+1,1-h))$
con $dimIm(f)=3$ e la base $B ker(f)=(1,h,0),(1,0,1),(0,1,1)$
mentre $dim ker(f)= dimRR^4 - dimIm(f)= 4-3=1$
per sapere i valori di h , trovo il $detA=h^2+h !=0$
dove sono uguali a $h !=0$ $ h !=-1$
ora qui nascono i famosi dubbi Shakespeariani....giusto o non giusto, questo è il problema....
il sistema omogeneo (per ottenere la base ker , considero la matrice associata ridotta ) , ottengo
$\{(x + y + t = 0),(-hy + z + (1-h)t = 0),((h+1)z + (1-h)t = 0):}$
le soluzioni sono
$\{(x = (2h)/(h+1)t ),(y = (h-1)/(h+1)t),( z =(h^2-h-1)/(h+1) t) , (t = t ):}$
con $ t= K in RR $
dove la soluzione è $ K=( (2h)/(h+1),(h-1)/(h+1),(h^2-h-1)/(h+1),1)$
B) Per quali valori di h , $(1,1,0) in Im(f)$ ?
Per $h !=0, -1$ , $(1,1,0) in Im(f)=RR^3 $
è giusto.?????????
Per $h =0 , -1$ $in Im(f)=>$ appartiene ai sistemi
1) h=0 $\{(a + b =1),(c = 1),(b + c = 0):}$
con soluzioni $\{(a =2),(b = -1),( c = 1):}$
2) h=-1 $\{(a + b =1),(a + c = 1),(b = 0):}$
con soluzioni $\{(a =1),(b = 0),( c = 2):}$
chiedo già in anticipo perdono per le gran cavolate che ho scritto....
Per favore mi dite passo passo dov'è l'errore..........??????????
Grazie a chi risponde e a chi legge
rieccomi qui con un 'altro problema...
Testo
sia $ f:RR^4->RR^3$ l'a.l. definita $f=(a,b,c,d)$ = $((a-b+d),(ha+c+d),(b+c))$ con h parametro reale.
A) Determinare al variare di h una base una dimensione di $ker(f)$ e $ Im(f)$.
iniziamo col dire che la matrice associata a f è
$((a-b+d),(ha+c+d),(b+c))$ $->$ $((1,1,0,1),(h,0,1,1),(0,1,1,0))$
eliminazione di gauss diventa
$((1,1,0,1),(h,0,1,1),(0,1,1,0))$ $->$ $((1,1,0,1),(0,h,1,1-h),(0,0,h+1,1-h))$
con $dimIm(f)=3$ e la base $B ker(f)=(1,h,0),(1,0,1),(0,1,1)$
mentre $dim ker(f)= dimRR^4 - dimIm(f)= 4-3=1$
per sapere i valori di h , trovo il $detA=h^2+h !=0$
dove sono uguali a $h !=0$ $ h !=-1$
ora qui nascono i famosi dubbi Shakespeariani....giusto o non giusto, questo è il problema....
il sistema omogeneo (per ottenere la base ker , considero la matrice associata ridotta ) , ottengo
$\{(x + y + t = 0),(-hy + z + (1-h)t = 0),((h+1)z + (1-h)t = 0):}$
le soluzioni sono
$\{(x = (2h)/(h+1)t ),(y = (h-1)/(h+1)t),( z =(h^2-h-1)/(h+1) t) , (t = t ):}$
con $ t= K in RR $
dove la soluzione è $ K=( (2h)/(h+1),(h-1)/(h+1),(h^2-h-1)/(h+1),1)$
B) Per quali valori di h , $(1,1,0) in Im(f)$ ?
Per $h !=0, -1$ , $(1,1,0) in Im(f)=RR^3 $
è giusto.?????????
Per $h =0 , -1$ $in Im(f)=>$ appartiene ai sistemi
1) h=0 $\{(a + b =1),(c = 1),(b + c = 0):}$
con soluzioni $\{(a =2),(b = -1),( c = 1):}$
2) h=-1 $\{(a + b =1),(a + c = 1),(b = 0):}$
con soluzioni $\{(a =1),(b = 0),( c = 2):}$
chiedo già in anticipo perdono per le gran cavolate che ho scritto....
Per favore mi dite passo passo dov'è l'errore..........??????????
Grazie a chi risponde e a chi legge
Risposte
pensiamo prima al punto A) e poi ci concentriamo sul B).
purtroppo già qui hai sbagliato
hai perso per strada il meno della b!
l'idea di ridurre la matrice con Gauss va bene ma devi stare attento quando discuti il parametro. per stabilire la base dell'immagine devi capire esattamente la quali siano i pivot. quindi ora ti chiedo:
1. correggi la matrice associata e riduci nuovamente con Gauss
2. discuti al variare del parametro il rango della matrice
3. stabilisci la dimensione e la base dell'immagine
"Oscar19":
iniziamo col dire che la matrice associata a f
purtroppo già qui hai sbagliato
hai perso per strada il meno della b!l'idea di ridurre la matrice con Gauss va bene ma devi stare attento quando discuti il parametro. per stabilire la base dell'immagine devi capire esattamente la quali siano i pivot. quindi ora ti chiedo:
1. correggi la matrice associata e riduci nuovamente con Gauss
2. discuti al variare del parametro il rango della matrice
3. stabilisci la dimensione e la base dell'immagine
Ciao Cooper..
Peccato sbaglio sempre per distrazione....
Se ho capito bene , dovrei ricalcolare la matrice associata con Gauss , poi stabilire quali pivot sono immagine di f, stabilire il rango, la dimensione e la base come avevo fatto prima, ma stando attento questa volta nell'eliminazione al segno meno....giusto....?!
Spero di postare presto l'esercizio corretto.
Grazie
PS.mi son dimenticato di dirti che : trovato il valore di h (con il determinante) della matrice associata
devo ricavarmi i singoli ranghi (sostituendo i valori di h nella matrice) e di conseguenza stabilisco le immagini di f
Peccato sbaglio sempre per distrazione....
Se ho capito bene , dovrei ricalcolare la matrice associata con Gauss , poi stabilire quali pivot sono immagine di f, stabilire il rango, la dimensione e la base come avevo fatto prima, ma stando attento questa volta nell'eliminazione al segno meno....giusto....?!
Spero di postare presto l'esercizio corretto.
Grazie
PS.mi son dimenticato di dirti che : trovato il valore di h (con il determinante) della matrice associata
devo ricavarmi i singoli ranghi (sostituendo i valori di h nella matrice) e di conseguenza stabilisco le immagini di f
"Oscar19":
Se ho capito bene , dovrei ricalcolare la matrice associata con Gauss , poi stabilire quali pivot sono immagine di f, stabilire il rango, la dimensione e la base come avevo fatto prima, ma stando attento questa volta nell'eliminazione al segno meno....giusto....?!
si e no. devi stare attento, dopo aver corretto al meno, al parametro. prima stabilisci il rango in base al parametro e dopo per ogni caso che hai trovato, stabilisci la dimensione.
Ok...Spero di non sbagliare...
Forse ho capito dove ho errato con il pt b)
Forse ho capito dove ho errato con il pt b)
Ciao a tutti....
son tornato....
A) Determinare al variare di h una base una dimensione di $ ker(f) $ e $ Im(f) $.
iniziamo col dire che la matrice associata a f questa volta è : (ho rifatto i conti con il segno - e credo che questa volta di aver scritto giusto..........!!!!
)
$ ((a-b+d),(ha+c+d),(b+c)) $ $ -> $ $ ((1,-1,0,1),(h,0,1,1),(0,1,1,0)) $
eliminazione di gauss diventa
$ ((1,-1,0,1),(h,0,1,1),(0,1,1,0)) $ $ -> $ $ ((1,-1,0,1),(0,h,1,1-h),(0,0,1-h,1-h)) $
ora per sapere i valori di h , trovo il $ detA=-h^2+h !=0 $
dove sono uguali a $ h !=0 $ $ h !=1 $
studio caso per caso
1) per $ h !=0 $ $ h !=1 $
la $ dimIm(f)=3 $ e la base $ B ker(f)=(1,h,0),(-1,0,1),(0,1,1) $
mentre $ dim ker(f)= dimRR^4 - dimIm(f)= 4-3=1 $
2) per $ h =0 $
faccio l'eliminazione di gauss e ho
$ ((1,-1,0,1),(0,0,1,1),(0,1,1,0)) $ $ -> $ $ ((1,-1,0,1),(0,1,1,0),(0,0,1,1)) $
la $ dimIm(f)=3 $ e la base $ B ker(f)=(1,0,0),(-1,0,1),(0,1,1) $
mentre $ dim ker(f)= dimRR^4 - dimIm(f)= 4-3=1 $
2) per $ h =1$
faccio l'eliminazione di gauss e ho
$ ((1,-1,0,1),(1,0,1,1),(0,1,1,0)) $ $ -> $ $ ((1,-1,0,1),(0,1,1,0),(0,0,0,0)) $
la $ dimIm(f)=2 $ e la base $ B ker(f)=(1,1,0),(-1,0,1) $
mentre $ dim ker(f)= dimRR^4 - dimIm(f)= 4-2=2 $
Trovo le basi per ogni valore di h
Per $ h !=0 $ $ h !=1 $ il sistema omogeneo (per ottenere la base ker , considero la matrice associata ridotta ) , sarà stavolta
$ \{(x - y + t = 0),(hy + z + (1-h)t = 0),((1-h)z + (1-h)t =0):} $
le soluzioni sono
$ \{(x = 0 ),(y = z),( z = z) , (t = -z ):} $ $AA z in RR $
con $ z= K in RR $
dove la soluzione è $( 0,-k,k,-k) $ $K=( 0,-1,1,-1) $
infatti $ dim ker(f)= dimRR^4 - dimIm(f)= 4-3=1 $
Per $ h =0 $ il sistema omogeneo (per ottenere la base ker , considero la matrice associata ridotta ) , sarà stavolta
$ \{(x - y + t = 0),(y - z = 0),(z + t =0):} $
le soluzioni sono
$ \{(x = 0 ),(y =- z),( z = z) , (t = -z ):} $ $AA z in RR $
con $ z= W in RR $
dove la soluzione è $( 0,-w,w,-w) $ $w=( 0,-1,1,-1) $
infatti $ dim ker(f)= dimRR^4 - dimIm(f)= 4-3=1 $
Per $ h =1 $ il sistema omogeneo (per ottenere la base ker , considero la matrice associata ridotta ) , sarà stavolta
$ \{(x - y + t = 0),(y - z = 0):} $
le soluzioni sono
$ \{(x = -z-t ),(y = - z),( z = z) , (t = t ):} $ $AA z in RR $ e $AA t in RR $
con $ z= s in RR $ e con $ t= r in RR $
dove la soluzione è $( -s-r,-s,s,r) $ $s=( -1,-1,1,0) + r=(-1,0,0,1) $
infatti $ dim ker(f)= dimRR^4 - dimIm(f)= 4-2=2 $
B) Per quali valori di h , $ (1,1,0) in Im(f) $ ?
Per $ h !=0, -1 $ , $ (1,1,0) in Im(f)=RR^3 $
Per $ h =0 , -1 $ $ in Im(f)=> $ appartiene ai sistemi (considero quelli ridotti )
1) h=0 $ \{(a - b =1),(c = 1),(b + c = 0):} $
con soluzioni $ \{(a =0),(b = -1),( c = -1):} $
2) h=1 $ \{(a - b =1),(a = 1),(b = 0):} $
con soluzioni $ \{(a =1),(b = 0):} $
chiedo già in anticipo perdono per quello che ho scritto....
grazie per chi legge e per chi corregge
son tornato....
A) Determinare al variare di h una base una dimensione di $ ker(f) $ e $ Im(f) $.
iniziamo col dire che la matrice associata a f questa volta è : (ho rifatto i conti con il segno - e credo che questa volta di aver scritto giusto..........!!!!
)$ ((a-b+d),(ha+c+d),(b+c)) $ $ -> $ $ ((1,-1,0,1),(h,0,1,1),(0,1,1,0)) $
eliminazione di gauss diventa
$ ((1,-1,0,1),(h,0,1,1),(0,1,1,0)) $ $ -> $ $ ((1,-1,0,1),(0,h,1,1-h),(0,0,1-h,1-h)) $
ora per sapere i valori di h , trovo il $ detA=-h^2+h !=0 $
dove sono uguali a $ h !=0 $ $ h !=1 $
studio caso per caso
1) per $ h !=0 $ $ h !=1 $
la $ dimIm(f)=3 $ e la base $ B ker(f)=(1,h,0),(-1,0,1),(0,1,1) $
mentre $ dim ker(f)= dimRR^4 - dimIm(f)= 4-3=1 $
2) per $ h =0 $
faccio l'eliminazione di gauss e ho
$ ((1,-1,0,1),(0,0,1,1),(0,1,1,0)) $ $ -> $ $ ((1,-1,0,1),(0,1,1,0),(0,0,1,1)) $
la $ dimIm(f)=3 $ e la base $ B ker(f)=(1,0,0),(-1,0,1),(0,1,1) $
mentre $ dim ker(f)= dimRR^4 - dimIm(f)= 4-3=1 $
2) per $ h =1$
faccio l'eliminazione di gauss e ho
$ ((1,-1,0,1),(1,0,1,1),(0,1,1,0)) $ $ -> $ $ ((1,-1,0,1),(0,1,1,0),(0,0,0,0)) $
la $ dimIm(f)=2 $ e la base $ B ker(f)=(1,1,0),(-1,0,1) $
mentre $ dim ker(f)= dimRR^4 - dimIm(f)= 4-2=2 $
Trovo le basi per ogni valore di h
Per $ h !=0 $ $ h !=1 $ il sistema omogeneo (per ottenere la base ker , considero la matrice associata ridotta ) , sarà stavolta
$ \{(x - y + t = 0),(hy + z + (1-h)t = 0),((1-h)z + (1-h)t =0):} $
le soluzioni sono
$ \{(x = 0 ),(y = z),( z = z) , (t = -z ):} $ $AA z in RR $
con $ z= K in RR $
dove la soluzione è $( 0,-k,k,-k) $ $K=( 0,-1,1,-1) $
infatti $ dim ker(f)= dimRR^4 - dimIm(f)= 4-3=1 $
Per $ h =0 $ il sistema omogeneo (per ottenere la base ker , considero la matrice associata ridotta ) , sarà stavolta
$ \{(x - y + t = 0),(y - z = 0),(z + t =0):} $
le soluzioni sono
$ \{(x = 0 ),(y =- z),( z = z) , (t = -z ):} $ $AA z in RR $
con $ z= W in RR $
dove la soluzione è $( 0,-w,w,-w) $ $w=( 0,-1,1,-1) $
infatti $ dim ker(f)= dimRR^4 - dimIm(f)= 4-3=1 $
Per $ h =1 $ il sistema omogeneo (per ottenere la base ker , considero la matrice associata ridotta ) , sarà stavolta
$ \{(x - y + t = 0),(y - z = 0):} $
le soluzioni sono
$ \{(x = -z-t ),(y = - z),( z = z) , (t = t ):} $ $AA z in RR $ e $AA t in RR $
con $ z= s in RR $ e con $ t= r in RR $
dove la soluzione è $( -s-r,-s,s,r) $ $s=( -1,-1,1,0) + r=(-1,0,0,1) $
infatti $ dim ker(f)= dimRR^4 - dimIm(f)= 4-2=2 $
B) Per quali valori di h , $ (1,1,0) in Im(f) $ ?
Per $ h !=0, -1 $ , $ (1,1,0) in Im(f)=RR^3 $
Per $ h =0 , -1 $ $ in Im(f)=> $ appartiene ai sistemi (considero quelli ridotti )
1) h=0 $ \{(a - b =1),(c = 1),(b + c = 0):} $
con soluzioni $ \{(a =0),(b = -1),( c = -1):} $
2) h=1 $ \{(a - b =1),(a = 1),(b = 0):} $
con soluzioni $ \{(a =1),(b = 0):} $
chiedo già in anticipo perdono per quello che ho scritto....
grazie per chi legge e per chi corregge
ciao!
per la prima parte, a parte giusto qualche refuso nel copiare ed incollare i sistemi mi sembra tutto corretto: due osservazioni.
1. il determinante non lo calcoli per una matrice rettangolare
2. una volta che stabilisci che il rango per $h=0 ^^ h!=0$ è lo stesso (qui 3) fai a meno di considerare i comportamenti separatamente, infatti poi trovi la stessa base. bastava quindi distinguere in $h=1 ^^ h!=1$, così da velocizzare
per la seconda parte
il primo mi sembra corretto ma potevi concludere senza conti perchè l'applicazione è suriettiva
il secondo hai impostato male il sistema. ti farei io i conti ma tutti questi sistemi che hai scritto mi hanno fatto perdere la vista
comunque hai capito come fare, si tratta di reimpostare bene il sistema (mancano x esempio c,d) e vedere se il sistema ha o meno soluzioni
per la prima parte, a parte giusto qualche refuso nel copiare ed incollare i sistemi mi sembra tutto corretto: due osservazioni.
1. il determinante non lo calcoli per una matrice rettangolare
2. una volta che stabilisci che il rango per $h=0 ^^ h!=0$ è lo stesso (qui 3) fai a meno di considerare i comportamenti separatamente, infatti poi trovi la stessa base. bastava quindi distinguere in $h=1 ^^ h!=1$, così da velocizzare
per la seconda parte
il primo mi sembra corretto ma potevi concludere senza conti perchè l'applicazione è suriettiva
il secondo hai impostato male il sistema. ti farei io i conti ma tutti questi sistemi che hai scritto mi hanno fatto perdere la vista
comunque hai capito come fare, si tratta di reimpostare bene il sistema (mancano x esempio c,d) e vedere se il sistema ha o meno soluzioni
Ciao Cooper
Hai ragione per la prima parte ma il prof lo voleva considerato.....
Per il secondo errore hai perfettamente ragione lo sbagliato.....almeno questo esercizio lo capito....ora lo correggo....
Grazie mille sei molto gentile
Hai ragione per la prima parte ma il prof lo voleva considerato.....
Per il secondo errore hai perfettamente ragione lo sbagliato.....almeno questo esercizio lo capito....ora lo correggo....
Grazie mille sei molto gentile
Ah.....mi son dimenticato!
Il secondo sistema lo sbaglio perché ho considerato la matrice ridotta....forse e meglio lavorare con quella di "partenza".....
Il secondo sistema lo sbaglio perché ho considerato la matrice ridotta....forse e meglio lavorare con quella di "partenza".....
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