Applicazioni lineari

[macalusolorenzo]

Scusate il disturbo, ma non riesco a svolgere questo tipo di applicazione lineare.

Stabilire se un'applicazione lineare $ F:R(4) rarr R(2)[x] $ tale che

F((1,1,0,2))= x-1 ; F((4,2,1,2))= 1-x-x^2 ; F((3,1,0,0))= 2+2x^2 ; F((-1,-1,-1,-2))=1-x+x^2
è lineare?

Definire un'applicazione lineare
$ G: R(4) rarr M2 (R) $ tale che
$ G(((3,1,0,0)))=G(((4,2,1,2)))=G(((1,1,0,2))) $
È possibile che dim Ker G =3? Può essere dim ImG =3?

La prima parte riesco a svolgerla, non so come procedere nella seconda. Mi potreste spiegare come si fa?
Grazie in anticipo per la risposta

[cooper1]

provo con questa soluzione ma aspetto anche io una conferma/smentita perchè non ne sono assolutamente certo.

"peppe3010":È possibile che dim Ker G =3?

direi di si. se l'immagine dei tre vettori che fornisce il testo è la matrice nulla allora i tre vettori fanno parte del nucleo che quindi ha dimensione almeno 3. per fare in modo che sia esattamente 3 scelgo l'immagine del vettore che manca in modo che non sia la matrice nulla.

"peppe3010":Può essere dim ImG =3?

dall'uguaglianza $ G((3100))=G((1102)) $ segue che $3G(e_1)+G(e_2)=G(e_1)+G(e_2)+2G(e_4)$ da cui $G(e_1)=G(e_4)$
la matrice rappresentativa ha quindi due colonne uguali e dato che esse generano l'immagine questa ha dimensione $<= 3$
dalle uguaglianze $G((3100))=G((4212)) ^^ G((3100))=G(( $ G((4212))=G((1102)) $ ))$ + sfruttando $G(e_1)=G(e_4)$ segue che $3G(e_4+G(e_2)+G(e_3)$
quindi le immagini dipendono linearmente tra loro. se per esempio fisso $G(e_4) ^^ G(e_2)$ ho che $G(e_3)=-3G(e_4) -G(e_2)$ e quindi la dimensione dell'immagine diminuisce ancora. ergo non può avere dimensione 3.

spero di non aver detto troppe castronerie!