Applicazioni Lineari

[macalusolorenzo]

Salve raga, mi sapreste dire come si svolge questo tipo di applicazione lineare? Riesco a farle quasi tutte ma di questo tipo non riesco a capire cosa dovrei fare.
1)Sia
$ F: R(3)rarr R(3) $ l'endomorfismo definito da
F((a,b,c))=(3a-c, -a+2b, 2a+c)
Stabilire se F è diagonalizzabile. Determinare due basi distinte di R(3) contenenti un autovettore di F.

2)E' possibile definire un'applicazione lineare
$ G:R(3)rarr R(3) $
Tale chè :
$ G(((2,1,1)))= F(((2,-1,1))) $ e
$ G(((-1,0,1)))= (1,-4/5,1) $
Se G esiste è unica? E' iniettiva? Calcolare G((7,1,-4))

La prima parte riesco a svolgerla senza problemi il mio dubbio è nella seconda. Mi sapreste spiegare come si procede? Inoltre quando G si dice unica? Grazie mille per la risposta

[Feliciano_Sagaio]

Allora :
F((2,-1,1))= (5, -4, 5). Riscrivendo le proprietà della tua G e sfruttando la linearità si ha :

2G(e1)+G(e2)+G(e3)=(5,-4,5)
-G(e1)+G(e3)=(1, -4/5, 1)

Intanto si vede subito che se G esiste non è iniettiva, infatti, moltiplicando la seconda equazione per 5 si ottiene :

$ -5G(e1)+5G(e3)=(5,-4,5) $ che è lo stesso vettore della prima

Sottraendo le due equazioni e sfruttando la linearità ottieni :
$ 7G(e1)+G(e2)-4G(e3)=G(7,1,-4)=(0,0,0) $ quindi hai calcolato l'immagine di (7,1,-4) : è zero!
Quindi il nucleo non è banale e G non è iniettiva, se esiste.

Ora, se provi a risolvere le equazioni sopra, dovresti trovare il modo per
1. scoprire se G esiste
2. vedere se trovi più applicazioni che soddisfano quelle equazioni. Una applicazione lineare è univocamente determinata dalle immagini della base. Nel nostro caso stiamo considerando la base canonica e1 e2 e3. Considera che il sistema è di due equazioni e tre incognite...quindi non mi aspetterei una soluzione unica.

[macalusolorenzo]

Buongiorno, sei stato chiarissimo, potresti però spiegare meglio come ti se andato a calcolare G((7,1,-4)). Non riesco a capire come fa a venire 0 l'immagine.

[Feliciano_Sagaio]

Basta che leggi la definizione di applicazione lineare e la applichi al caso in cui la base è la base canonica