APPLICAZIONI LINEARI

[balista1]

Sia f : R^4 ----> R^4 l'unico endomorfismo di R^4 tale che:

f(e1) = 2e2
f(e2) = 3e3
f(e3) = 4e4
f(e4) = 0;
dove
(e1; e2; e3; e4) e la base canonica di R4.
a) Determinare la matrice rapprentativa di f
b )Determinare una base di Kerf e una base di Imf e stabilire se R4 = Kerf somma diretta Imf.

[lukath]

Sai che la matrice rappresentativa di un endomorfismo da una base in se stessa ha come colonna i-esima i coefficienti della combinazione lineare dei vettori della base che ti dà come risultato l'immagine dell'i-esimo vettore della base stessa (N.B. Le due basi coincidono SOLO perchè è un endomorfismo, per qualunque altra applicazione lineare da uno spazio vettoriale ad un altro le basi sono diverse). Detto ciò, supponendo che la tua base sia ${e_1,e_2,e_3,e_4}$ (in quest'ordine), si ha che:

$f(e_1)=2*e_2=2*((0),(1),(0),(0))=0*((1),(0),(0),(0)) + 2*((0),(1),(0),(0)) + 0*((0),(0),(1),(0)) + 0*((0),(0),(0),(1))$

$f(e_2)=3*e_3=3*((0),(0),(1),(0))=0*((1),(0),(0),(0)) + 0*((0),(1),(0),(0)) + 3*((0),(0),(1),(0)) + 0*((0),(0),(0),(1))$

$f(e_3)=4*e_4=4*((0),(0),(0),(1))=0*((1),(0),(0),(0)) + 0*((0),(1),(0),(0)) + 0*((0),(0),(1),(0)) + 4*((0),(0),(0),(1))$

$f(e_4)=((0),(0),(0),(0))=0*((1),(0),(0),(0)) + 0*((0),(1),(0),(0)) + 0*((0),(0),(1),(0)) + 0*((0),(0),(0),(1))$

E la tua matrice rappresentativa è $((0,0,0,0),(2,0,0,0),(0,3,0,0),(0,0,4,0))$.

La seconda parte dell'esercizio non è difficile, visto che sai che $e_4$ viene mandato nel vettore nullo, dunque appartiene a $Ker(f)$, e sapendo che la dimensione di $Im(f)$ per il teorema di "nullità più rango" è $3$ hai già trovato una base per $Im(f)$.