Applicazioni continue tra spazi di diversa dimensione

[Lorentz11]

Ciao a tutti

Ho due domande:

1)come faccio a riconoscere che una applicazione tra IR^n e IR^m è continua ?
so la definizione topologica di funzione continua, ma non riesco a applicarla in questo caso.

2) nel caso finito dimensionale, linearità \( \Longleftrightarrow \) continuità?
So che non è vero in generale per operatori lineari infinito dimensionali, ma pensando alle rette mi viene il sospetto che sia come penso. Il sospetto è fondato?

Grazie a tutti per la disponibilità, forum utilissimo!

[_fabricius_1]

1) Dipende dalla particolare funzione. Qual è?

2) No. Vero è che un'applicazione lineare è continua, ma non è affatto vero che un'applicazione continua è lineare. Se ci pensi è ovvio: considera il caso n=m=1, cioè a funzioni da R in R continue ma non lineari.

[Lorentz11]

1)
a) per esempio l'applicazione che aggiunge k colonne indipendenti a una matrice di IR^n*(n-k)

oppure

b) il determinante

2) sì, ho inserito il simbolo sbagliato Come si potrebbe dimostrare che linearità implica continuità per applicazioni da IR^n ->IR^m ?