Applicazione teorema dei Moltiplicatori di Lagrange
Dopo essermi imbattuto nella teoria dei moltiplicatori di Lagrange, e visto che spesso il passaggio dalla teoria alla pratica non è così facile come sembri (almeno per me), sarei molto contento se qualcuno potesse almeno indicarmi se sto affrontando il problema nel modo corretto 
In particolare, sto provando a determinare l'immagine $f(A)$ della funzione $f : A -> R$, dove:
$A = {(x, y, z) in R^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 1, y = x^2}$
$f(x, y, z) = x^2 - z^2$
Ora, A è determinato dall'intersezione della sfera di centro l'origine e raggio 1, e dal luogo individuato dalla ripetizione per ogni z della parabola $y = x^2$ che sta nel piano $xy$ (peccato non si possano fare dei grafici direttamente nel forum
).
f è un polinomio -> continua su tutto A.
A è compatto -> per Weierstrass f ammette sicuramente massimo e minimo in A.
A è connesso -> per Bolzano f(A) è un intervallo.
A è tutta frontiera (vero?), quindi non calcolo neanche eventuali punti dove il gradiente di f si annulla (ovviamente se esiste).
La frontiera, se non sbaglio, non ha punti singolari, quindi posso applicare direttamente il teorema dei Moltiplicatori di Lagrange in modo da soddisfarlo contemporaneamente per i due vincoli:
$g_1: x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0$
$g_2: y - x^2 = 0$
Calcoliamo i vari gradienti:
$grad(f(x, y, z)) = (2x, 0, -2z)$
$grad(g_1(x, y, z)) = (2x, 2y, 2z)$
$grad(g_2(x, y, z)) = (2x, -1, 0)$
Scriviamo la Lagrangiana:
$F(x, y, z, alpha, beta) = f(x, y, z) - alpha*g_1(x, y, z) - beta*g_2(x, y, z)$
E verifichiamo se esistono $alpha$ e $beta$ reali che soddisfano il seguente sistema:
$grad(f(x, y, z)) - alpha*grad(g_1(x, y, z)) - beta*grad(g_2(x, y, z)) = 0$
$x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0$
$y - x^2 = 0$
$2x - alpha*2x - beta*2x = 0$
$0 - alpha*2y + beta = 0$
$-2z - alpha*2z = 0$
dalla terza equazione -> $2z(1 + alpha) = 0$ -> $z = 0$ oppure $alpha = -1$
- Se $alpha = -1$ -> dalla prima equazione $2x(1 - alpha - 2alpha*y) = 0$ -> $2x(1 + 1 + 2y) = 0$ da cui $ x = 0$ oppure $y = -1$
$y = -1$ la scarto in quanto non soddisfa il secondo vincolo
Trovo quindi i punti: $(0, 0, -1), (0, 0, 1)$
- Se invece $z = 0 -> x^2 + y^2 = 1 -> y = 1 - y^2 -> y^2 + y - 1 = 0 -> y_(1,2) = (-1+-sqrt(5))/2 = x^2$
E ho ottenuto altri due punti: $(((-1-sqrt(5))/2)^2, (-1-sqrt(5))/2, 0), ( ((-1+sqrt(5))/2)^2, (-1+sqrt(5))/2, 0)$
Tali punti so che soddisfano la terza equazione per $z = 0$, devo quindi verificare se esistono $alpha, beta in R$ che soddisfano le prime due equazioni.
Dalla seconda equazione: $beta = 2alpha*y$ che sostituisco nella prima:
$alpha(2x + 4xy) = 2x alpha = 1/(1+2y) = 1/(1 + 2*((-1+-sqrt(5))/2)) = +-sqrt(5)/5 in R -> beta = 2alpha*y in R$
Quindi ho trovato 4 punti, sostituisco i valori e trovo valore max e min -> $f(A) in [max, min]$
Ho fatto qualche castroneria?
Qualche anima pia è arrivata fino a qui?
Non vorrete rendere vano tutto il tempo per scrivere questo post (e a voi per leggerlo)!
Grazie per il vostro tempo, come sempre.
In particolare, sto provando a determinare l'immagine $f(A)$ della funzione $f : A -> R$, dove:
$A = {(x, y, z) in R^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 1, y = x^2}$
$f(x, y, z) = x^2 - z^2$
Ora, A è determinato dall'intersezione della sfera di centro l'origine e raggio 1, e dal luogo individuato dalla ripetizione per ogni z della parabola $y = x^2$ che sta nel piano $xy$ (peccato non si possano fare dei grafici direttamente nel forum
).f è un polinomio -> continua su tutto A.
A è compatto -> per Weierstrass f ammette sicuramente massimo e minimo in A.
A è connesso -> per Bolzano f(A) è un intervallo.
A è tutta frontiera (vero?), quindi non calcolo neanche eventuali punti dove il gradiente di f si annulla (ovviamente se esiste).
La frontiera, se non sbaglio, non ha punti singolari, quindi posso applicare direttamente il teorema dei Moltiplicatori di Lagrange in modo da soddisfarlo contemporaneamente per i due vincoli:
$g_1: x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0$
$g_2: y - x^2 = 0$
Calcoliamo i vari gradienti:
$grad(f(x, y, z)) = (2x, 0, -2z)$
$grad(g_1(x, y, z)) = (2x, 2y, 2z)$
$grad(g_2(x, y, z)) = (2x, -1, 0)$
Scriviamo la Lagrangiana:
$F(x, y, z, alpha, beta) = f(x, y, z) - alpha*g_1(x, y, z) - beta*g_2(x, y, z)$
E verifichiamo se esistono $alpha$ e $beta$ reali che soddisfano il seguente sistema:
$grad(f(x, y, z)) - alpha*grad(g_1(x, y, z)) - beta*grad(g_2(x, y, z)) = 0$
$x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0$
$y - x^2 = 0$
$2x - alpha*2x - beta*2x = 0$
$0 - alpha*2y + beta = 0$
$-2z - alpha*2z = 0$
dalla terza equazione -> $2z(1 + alpha) = 0$ -> $z = 0$ oppure $alpha = -1$
- Se $alpha = -1$ -> dalla prima equazione $2x(1 - alpha - 2alpha*y) = 0$ -> $2x(1 + 1 + 2y) = 0$ da cui $ x = 0$ oppure $y = -1$
$y = -1$ la scarto in quanto non soddisfa il secondo vincolo
Trovo quindi i punti: $(0, 0, -1), (0, 0, 1)$
- Se invece $z = 0 -> x^2 + y^2 = 1 -> y = 1 - y^2 -> y^2 + y - 1 = 0 -> y_(1,2) = (-1+-sqrt(5))/2 = x^2$
E ho ottenuto altri due punti: $(((-1-sqrt(5))/2)^2, (-1-sqrt(5))/2, 0), ( ((-1+sqrt(5))/2)^2, (-1+sqrt(5))/2, 0)$
Tali punti so che soddisfano la terza equazione per $z = 0$, devo quindi verificare se esistono $alpha, beta in R$ che soddisfano le prime due equazioni.
Dalla seconda equazione: $beta = 2alpha*y$ che sostituisco nella prima:
$alpha(2x + 4xy) = 2x alpha = 1/(1+2y) = 1/(1 + 2*((-1+-sqrt(5))/2)) = +-sqrt(5)/5 in R -> beta = 2alpha*y in R$
Quindi ho trovato 4 punti, sostituisco i valori e trovo valore max e min -> $f(A) in [max, min]$
Ho fatto qualche castroneria?
Qualche anima pia è arrivata fino a qui?
Non vorrete rendere vano tutto il tempo per scrivere questo post (e a voi per leggerlo)!
Grazie per il vostro tempo, come sempre.
Risposte
caso mai $f(A)=[max,min]$...
beh.. i conti non li ho seguiti, ma pare che il procedimento sia corretto
beh.. i conti non li ho seguiti, ma pare che il procedimento sia corretto
"ubermensch":
caso mai $f(A)=[max,min]$...
caso mai $f(A)=[min,max]$...
"luke84":
A è tutta frontiera (vero?)
vero
"luke84":
La frontiera, se non sbaglio, non ha punti singolari, quindi posso applicare direttamente il teorema dei Moltiplicatori di Lagrange in modo da soddisfarlo contemporaneamente per i due vincoli
non sbagli
"luke84":
Non vorrete rendere vano tutto il tempo per scrivere questo post (e a voi per leggerlo)!
per quanto mi riguarda è vano (e ancor più vano sarebbe per me "controllare" i conti, non ne uscirei vivo)...
"Fioravante Patrone":
[quote="luke84"]
A è tutta frontiera (vero?)
vero
"luke84":
La frontiera, se non sbaglio, non ha punti singolari, quindi posso applicare direttamente il teorema dei Moltiplicatori di Lagrange in modo da soddisfarlo contemporaneamente per i due vincoli
non sbagli
"luke84":
Non vorrete rendere vano tutto il tempo per scrivere questo post (e a voi per leggerlo)!
per quanto mi riguarda è vano (e ancor più vano sarebbe per me "controllare" i conti, non ne uscirei vivo)...[/quote]
Le due conferme che mi hai dato sono già un prezioso aiuto!
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