Applicazione su due basi

[riccacasa]

Ciao a tutti:
Se B = $(e_1+2e_2, 3e_1-e_2)$ e C = $(4e_1+e_2, -2e_1+3e_2)$ ed $ f: R^2\rightarrow R^2$ l'applicazione lineare di cui è data la matrice $[f]_B^C$ : $$
{\mathcal A} = \left(
\begin{array}{cc}
-1 &3 \\
4 &1 \\
\end{array}
\right)
_B^C $$. Quanto vale $ f(2e_1-3e_2)$?

HO CALCOLATO LE COMPONENTI DI $ (2e_1-3e_2)$ RISPETTO ALLA BASE $C$ E POI HO FATTO L'IMMAGINE TRAMITE LA MATRICE ASSOCIATA MA NON TORNA, HO PROVATO ANCHE A FARLO CON LA BASE $B$ MA NON TORNA LOSTESSO. PER FAVORE AIUTATEMI.

[Maci86]

Non capisco la notazione, cosa vuol dire $[f]_B^C$?

[riccacasa]

Vuol dire, credo, che l'applicazione va dalla base $C$ alla base $B$

[Maci86]

"ricca":Vuol dire, credo, che l'applicazione va dalla base $C$ alla base $B$

Ottimo, due modi di procedere, uno con le matrici, che lascio a te:
$alpha_((B,E)) A alpha_((E,C))$
Dove le alpha sono le matrici di cambiamento di base. Applichi il vettore e trovi il risultato.

Secondo metodo, più incivile ma che a me me piace :
Scrivo il vettore nella base C:
$((4alpha),(alpha)) + ((-2beta),(3beta))= ((2),(-3)) Rightarrow alpha=0, beta=-1 Rightarrow ((0),(-1))$
Applichiamo la matrice A:
$((-1,2),(4,1))((0),(-1))=((-2),(-1))$
Ora abbiamo il vettore nella base B, per ritornare alla base canonica, lo usi come coefficiente dei vettori di base:
$-2((1),(2)) -((3),(-1))= ((-5),(-3))$

[riccacasa]

Sul testo torna $(22,-5)$, anche io avevo provato così nel frattempo ma non torna vedi?
Beh ho riprovato, intanto la matrice è da B a C quindi identici passaggi ma con basi invertite e torna. OK grazie del suggerimento.

[Maci86]

Ottimo allora La notazione è orribile

[riccacasa]

Lo so, è orribile ma il testo usa questa notazione, sia sulla teoria che sugli esercizi.