Applicazione propria
Ciao. Vi posto alcuni problemi che ho trovato risolvendo degli esercizi:
Devo vedere se un'applicazione propria tra varietà topologiche è chiusa. Ho provato a svolgerlo ma non so se in modo corretto. Ve lo posto
Sia $C$ un chiuso in $X$, spazio topologico, devo dimostrare che $f(C)$ è chiuso in $Y$, anch'esso spazio topologico. Allora ho preso ${y_n}$ una successione convergente in $f(C)$ ad $y$. Dovrei vedere se $y in f(C)$. Considero ${y_n} uu {y}$, il quale se non sbaglio è compatto. Se è vero che è compatto allora considero la sua controimmagine che deve essere un compatto poichè $f$ è propria. Quindi $EE x_n$ tale che $f(x_n)=y_n$. Prendo $x_(n_k)$ sottosuccessione di $f^(-1){y_n}$ ma $f^(-1){y_n}$ $sub$ $f^(-1)({y_n} uu {y})$ quindi $x_(n_k)$ è una sottosuccessione di un compatto e convergerà ad un punto $x_0$ ma siccome ${x_(n_k)} sub C$ e $C$ è chiuso allora $x_0 sub C$. Se considero $f(x_(n_k))$ questa per la continuità convergerà ad $f(x_0)$ ma $f(x_(n_k))$ è una sottosuccessione di ${y_n}$ e quindi $f(x_(n_k))$ converge ad $y$ ma $Y$ è una varietà topologica e quindi è di Hausdorff per cui il limite è unico e quindi $f(x_0)=y$ e siccome $x_0 in C$ allora $f(x_0) in f(C)$.
Stavo pensando anche se era possibile dimostrarlo in modo più semplice facendo queste considerazioni:
1)varietà topologiche implicano che $X$ e $Y$ siano di Hausdorff
2)se l'applicazione è propria la controimmagine di un compatto è un compatto
3)un compatto in uno spazio di Hausdorff è chiuso.
Servendomi di queste tre osservazioni potrei dimostrare che l'applicazione è chiusa?
Devo vedere se un'applicazione propria tra varietà topologiche è chiusa. Ho provato a svolgerlo ma non so se in modo corretto. Ve lo posto
Sia $C$ un chiuso in $X$, spazio topologico, devo dimostrare che $f(C)$ è chiuso in $Y$, anch'esso spazio topologico. Allora ho preso ${y_n}$ una successione convergente in $f(C)$ ad $y$. Dovrei vedere se $y in f(C)$. Considero ${y_n} uu {y}$, il quale se non sbaglio è compatto. Se è vero che è compatto allora considero la sua controimmagine che deve essere un compatto poichè $f$ è propria. Quindi $EE x_n$ tale che $f(x_n)=y_n$. Prendo $x_(n_k)$ sottosuccessione di $f^(-1){y_n}$ ma $f^(-1){y_n}$ $sub$ $f^(-1)({y_n} uu {y})$ quindi $x_(n_k)$ è una sottosuccessione di un compatto e convergerà ad un punto $x_0$ ma siccome ${x_(n_k)} sub C$ e $C$ è chiuso allora $x_0 sub C$. Se considero $f(x_(n_k))$ questa per la continuità convergerà ad $f(x_0)$ ma $f(x_(n_k))$ è una sottosuccessione di ${y_n}$ e quindi $f(x_(n_k))$ converge ad $y$ ma $Y$ è una varietà topologica e quindi è di Hausdorff per cui il limite è unico e quindi $f(x_0)=y$ e siccome $x_0 in C$ allora $f(x_0) in f(C)$.
Stavo pensando anche se era possibile dimostrarlo in modo più semplice facendo queste considerazioni:
1)varietà topologiche implicano che $X$ e $Y$ siano di Hausdorff
2)se l'applicazione è propria la controimmagine di un compatto è un compatto
3)un compatto in uno spazio di Hausdorff è chiuso.
Servendomi di queste tre osservazioni potrei dimostrare che l'applicazione è chiusa?
Risposte
Punto primo. [tex]\{y_n\}_{n \in \mathbb N} \cup \{y\}[/tex] è un compatto; indubbiamente è vero. La dimostrazione è anche semplice... hai dei problemi su questo fatto?
Non mi vengono comunque in mente modi più semplici usando solo 1) -3). La tua dimostrazione, comunque, mi torna, salvo il punto di cui ho scritto sopra.
Non mi vengono comunque in mente modi più semplici usando solo 1) -3). La tua dimostrazione, comunque, mi torna, salvo il punto di cui ho scritto sopra.
"maurer":
Punto primo. [tex]\{y_n\}_{n \in \mathbb N} \cup \{y\}[/tex] è un compatto; indubbiamente è vero. La dimostrazione è anche semplice... hai dei problemi su questo fatto?
Dovrebbe essere compatto poichè è sequenzialmente compatto? Cioè so che se uno spazio è compatto ed è $N_1$ e di Hausdorff allora è sequenzialmente compatto. Se non è così ti sarei grato se me lo spiegassi. Grazie ancora comunque per avermi risposto.
L'equivalenza sussiste negli spazi metrici. Ora, credo che ci sia qualche teorema che assicura che le varietà differenziabili (non so quelle topologiche, però), siano metrizzabili, ma non ho la benché minima idea della dimostrazione, quindi non ci faccio troppo affidamento.
Io pensavo semplicemente all'orrenda definizione di compattezza. Sia [tex]\mathcal{A} = \{A_i\}_{i \in I}[/tex] un ricoprimento aperto. Allora deve esistere un indice [tex]\bar{i}[/tex] tale che [tex]y \in A_\bar{i}[/tex]. Per ogni [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] tale che [tex]y_n \not \in A_\bar{i}[/tex] sia [tex]y_n \in A_{i_n}[/tex]. Siccome gli indici che soddisfano la precedente relazione sono in numero finito, abbiamo estratto un ricoprimento finito. Quindi l'insieme è compatto.
Io pensavo semplicemente all'orrenda definizione di compattezza. Sia [tex]\mathcal{A} = \{A_i\}_{i \in I}[/tex] un ricoprimento aperto. Allora deve esistere un indice [tex]\bar{i}[/tex] tale che [tex]y \in A_\bar{i}[/tex]. Per ogni [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] tale che [tex]y_n \not \in A_\bar{i}[/tex] sia [tex]y_n \in A_{i_n}[/tex]. Siccome gli indici che soddisfano la precedente relazione sono in numero finito, abbiamo estratto un ricoprimento finito. Quindi l'insieme è compatto.
"maurer":E' così se richiedi per definizione l'esistenza di una base numerabile di aperti, cosa che fanno molti autori (tra cui Warner) ma non tutti. Questo segue dal teorema di metrizzabilità di Urysohn: uno spazio topologico di Hausdorff e compatto è metrizzabile se e solo se esso ha una base numerabile di aperti. Più in generale si può dimostrare che tutte le proprietà buone delle varietà sono equivalenti alla metrizzabilità, ed è questo il motivo per cui spesso si fa in modo di averla per definizione.
L'equivalenza sussiste negli spazi metrici. Ora, credo che ci sia qualche teorema che assicura che le varietà differenziabili (non so quelle topologiche, però), siano metrizzabili, ma non ho la benché minima idea della dimostrazione, quindi non ci faccio troppo affidamento.
Io sono solo un dilettante di queste cose quindi non so scendere di più nel dettaglio; per ulteriori informazioni si può consultare l'Appendice A del testo di Spivak, volume I.
Ok grazie mille della tua spiegazione. Ci rifletto su dopo mangiato 
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Ti ringrazio anch'io!
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