Applicazione multilieare e determinante
Salve ,sto studiando la definizione di determinante e lo Stoka introduce l'applicazione p-lineare;
allora la Definizione che da è la seguente :
Sia E ed F due spazi vettoriali sul corpo commutativo K e p un intero positivo $ (p >= 2) $ ; Un'applicazione di $ E^(p) = E xx ... xx E in F $
$ (x1,...,xp)rarr f(x1,...,xp) $
si dice p-lineare se essa è lineare rispetto a ciascuno dei vettori x1,...,xp,cioè se per ogni indice i=1,...,p
f(x1,...,xi-1,yi+zi,xi+1,...xp)= $ =f(x1,...,x i-1,y i,x i+1,...,xp)+j(x1,...,x i-1,z1,x i+1,...,xp)= $ ,
$ =f(x1,...,x i-1, l x i,x i+1,...,xp)= $ =
$ =l f(x1,...,x i-1, x i,x i+1,...,xp),
con l scalare appartenente al gruppo commutativo K
Cosa vuol dire ? è incomprensibile per me
Ho letto un topic precedente ma non mi è stato di grande aiuto
allora la Definizione che da è la seguente :
Sia E ed F due spazi vettoriali sul corpo commutativo K e p un intero positivo $ (p >= 2) $ ; Un'applicazione di $ E^(p) = E xx ... xx E in F $
$ (x1,...,xp)rarr f(x1,...,xp) $
si dice p-lineare se essa è lineare rispetto a ciascuno dei vettori x1,...,xp,cioè se per ogni indice i=1,...,p
f(x1,...,xi-1,yi+zi,xi+1,...xp)= $ =f(x1,...,x i-1,y i,x i+1,...,xp)+j(x1,...,x i-1,z1,x i+1,...,xp)= $ ,
$ =f(x1,...,x i-1, l x i,x i+1,...,xp)= $ =
$ =l f(x1,...,x i-1, x i,x i+1,...,xp),
con l scalare appartenente al gruppo commutativo K
Cosa vuol dire ? è incomprensibile per me
Ho letto un topic precedente ma non mi è stato di grande aiuto
Risposte
Mi pare chiaro... E' la definizione di applicazione multilineare, ovvero lineare in ogni variabile. Facciamo un esempio di applicazione bilineare: il prodotto in $RR$. Definiamo $f(x_1,x_2)=x_1x_2$: è immediato verificare che $f$ è lineare in entrambe le variabili.
Allora applicazione multilineare generalizza il concetto di applicazione lineare se non ho capito male ,che si mantiene definita su uno stesso corpo commutativo ;
ma ancora una cosa :
f(x1,...,xi-1,yi+zi,xi+1,...xp)
come mai è definita solo yi+zi e non per esempio yi,...,yp + zi,...,zp ?
j è un'altra funzione ?
ma ancora una cosa :
f(x1,...,xi-1,yi+zi,xi+1,...xp)
come mai è definita solo yi+zi e non per esempio yi,...,yp + zi,...,zp ?
j è un'altra funzione ?
Ma no, che confusione. Una scrittura come
$f(x_1...x_{i-1}, x_i + y_i, x_{i+1} ... x_p)$
sta a significare che viene sommato il vettore $y_i$ solo all'$i$-esima variabile di $f$. Esempio con $p=3,i=2$:
$f(x_1, x_2+y_2,x_3)$.
Inoltre una applicazione multilineare non è definita in un corpo commutativo ma in un prodotto cartesiano di spazi vettoriali, come tu stesso hai scritto nel primo post.
Ma come mai stai leggendo il libro di Stoka? Non è molto semplice, se ti crea confusione perché non ne consulti qualche altro? E' una scelta classica il volume uno del libro di Sernesi.
$f(x_1...x_{i-1}, x_i + y_i, x_{i+1} ... x_p)$
sta a significare che viene sommato il vettore $y_i$ solo all'$i$-esima variabile di $f$. Esempio con $p=3,i=2$:
$f(x_1, x_2+y_2,x_3)$.
Inoltre una applicazione multilineare non è definita in un corpo commutativo ma in un prodotto cartesiano di spazi vettoriali, come tu stesso hai scritto nel primo post.
Ma come mai stai leggendo il libro di Stoka? Non è molto semplice, se ti crea confusione perché non ne consulti qualche altro? E' una scelta classica il volume uno del libro di Sernesi.
Giusto su un campo non è definito il prodotto esterno ; ma mi è venuto un dubbio :
se condidero una funzione $ f : RR -> RR $ ;
$RR$ è chiaramente un spazio vettoriale , ma se dovessi dare un'interpretazione "analitica" tipo sia f una funzione reale a variabile reale come sta scritto in mnolti libri di analisi , devo considerare le variabili come se fossero vettori definiti su uno spazio vettoriale? qual'è la differenza tra la definizione di funzione che si trova sul un libro di albegra (lineare) e uno di analisi .
Scusate l'abuso di linguaggio
Sicuramentre c'entra poco con l'argomento però se siete così gentili da darmi una mano ve ne sarei grati!
se condidero una funzione $ f : RR -> RR $ ;
$RR$ è chiaramente un spazio vettoriale , ma se dovessi dare un'interpretazione "analitica" tipo sia f una funzione reale a variabile reale come sta scritto in mnolti libri di analisi , devo considerare le variabili come se fossero vettori definiti su uno spazio vettoriale? qual'è la differenza tra la definizione di funzione che si trova sul un libro di albegra (lineare) e uno di analisi .
Scusate l'abuso di linguaggio
Sicuramentre c'entra poco con l'argomento però se siete così gentili da darmi una mano ve ne sarei grati!
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