Applicazione linere definita dal Ker f e da una sola immagine
Ciao a tutti.
E' da un pò di tempo che cerco di risolvere questo esercizio alquanto astruso, spero di arrivare alla soluzione insieme a voi:
E' assegnata la seguente applicazione lineare: f: R^3 --> R^4 tale che
Ker f= {(x,y,z) $in$ R^3: x-5y+z=0} e f(0,1,1)= (-1,-3,0,-4)
a) Determinare la matrice associata rispetto alle basi canoniche
b) Determinare Im f
Avevo iniziato calcolandomi il rango della matrice associata a Ker f:
{x-5y+z=0
A= (1 -5 1); $\rho$ (A)= 1 e per il Teorema di Rouchè-Capelli abbiamo che $\rho$ (A) = $\rho$ (A|B) = 1 e quindi, siccome n (numero incognite) è uguale a 3 (n=3), si ha che n- $\rho$ (A) = 3-1= 2. La dim Ker f sarà uguale a 2 (dim Ker f=2) e avremo $\infty$ ^2 soluzioni, con due incognite libere.
Ponendo y=h e z=k risolviamo il sistema lineare omogeneo:
{x-5h+k=0 {x= 5h-k
S: (5h-k, h, k)= h(5,1,0) + k(-1,0,1)
e si trova una Base del Ker f = {(5,1,0), (-1,0,1)}
Dal Teorema delle dimensioni possiamo già sapere che:
dim Ker f+ dim Im f= dim R^3 ovvero
dim Im f= dim R^3- dim Ker f= 3-2= 1
Da qui in poi non riesco a capire come procedere. Aiutatemi per favore
E' da un pò di tempo che cerco di risolvere questo esercizio alquanto astruso, spero di arrivare alla soluzione insieme a voi:
E' assegnata la seguente applicazione lineare: f: R^3 --> R^4 tale che
Ker f= {(x,y,z) $in$ R^3: x-5y+z=0} e f(0,1,1)= (-1,-3,0,-4)
a) Determinare la matrice associata rispetto alle basi canoniche
b) Determinare Im f
Avevo iniziato calcolandomi il rango della matrice associata a Ker f:
{x-5y+z=0
A= (1 -5 1); $\rho$ (A)= 1 e per il Teorema di Rouchè-Capelli abbiamo che $\rho$ (A) = $\rho$ (A|B) = 1 e quindi, siccome n (numero incognite) è uguale a 3 (n=3), si ha che n- $\rho$ (A) = 3-1= 2. La dim Ker f sarà uguale a 2 (dim Ker f=2) e avremo $\infty$ ^2 soluzioni, con due incognite libere.
Ponendo y=h e z=k risolviamo il sistema lineare omogeneo:
{x-5h+k=0 {x= 5h-k
S: (5h-k, h, k)= h(5,1,0) + k(-1,0,1)
e si trova una Base del Ker f = {(5,1,0), (-1,0,1)}
Dal Teorema delle dimensioni possiamo già sapere che:
dim Ker f+ dim Im f= dim R^3 ovvero
dim Im f= dim R^3- dim Ker f= 3-2= 1
Da qui in poi non riesco a capire come procedere. Aiutatemi per favore
Risposte
"The kwyz":
Avevo iniziato calcolandomi il rango della matrice associata a Ker f
$Ker(f)$ è un sottospazio vettoriale. Non è nè una matrice nè un'applicazione lineare! Per cui non calcoli il rango di $Ker(f)$.
Se hai trovato che la dimensione $dim(Im(f)) = 1$ e sai che:
1)$Ker(f)=Span( ((5),(1),(0)); ((-1),(0),(1)) )$;
2)$f(((0),(1),(1)))=((-1),(-3),(0),(-4))$
L'immagine di $f$ l'hai già trovata. Pensaci bene!
Hai una base $\mathcal{B}$ di $\mathbb{R}^3$ bella e pronta (quale?). Per come sei messo fino a questo punto puoi già scrivere $\mathcal{M}(f)_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}_4}$, dove $\mathcal{C}_4$ è la base canonica di $\mathbb{R}^4$.
A questo punto continui...
una base del $Kerf$ è $(u=(5,1,0), v=(-1,0,1))$ quindi
$f(u)=(0,0,0,0)$ e $f(v)=(0,0,0,0)$ e abbiamo dal testo $f(0,1,1)=(-1,-3,0,-4)$
poniamo $w=(0,1,1)$
$e_1=(1,0,0)=\frac{1}{4}u+\frac{1}{4}v-\frac{1}{4}w$ quindi per linearità $f(e_1)=-\frac{1}{4}(-1,-3,0,-4)$
$e_2=(0,1,0)=-\frac{1}{4}u-\frac{5}{4}v+\frac{5}{4}w$ quindi per linearità $f(e_1)=\frac{5}{4}(-1,-3,0,-4)$
$e_3=(0,1,0)=\frac{1}{4}u+\frac{5}{4}v-\frac{1}{4}w$ quindi per linearità $f(e_1)=-\frac{1}{4}(-1,-3,0,-4)$
l'immagine è ovvia dal teorema del rango, il rango di $f$ è 1 quindi $Im(f)=span(-1,-3,0,-4)$
$f(u)=(0,0,0,0)$ e $f(v)=(0,0,0,0)$ e abbiamo dal testo $f(0,1,1)=(-1,-3,0,-4)$
poniamo $w=(0,1,1)$
$e_1=(1,0,0)=\frac{1}{4}u+\frac{1}{4}v-\frac{1}{4}w$ quindi per linearità $f(e_1)=-\frac{1}{4}(-1,-3,0,-4)$
$e_2=(0,1,0)=-\frac{1}{4}u-\frac{5}{4}v+\frac{5}{4}w$ quindi per linearità $f(e_1)=\frac{5}{4}(-1,-3,0,-4)$
$e_3=(0,1,0)=\frac{1}{4}u+\frac{5}{4}v-\frac{1}{4}w$ quindi per linearità $f(e_1)=-\frac{1}{4}(-1,-3,0,-4)$
l'immagine è ovvia dal teorema del rango, il rango di $f$ è 1 quindi $Im(f)=span(-1,-3,0,-4)$
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