Applicazione Lineare:Kerf,base e dim,Imf base e dim
Salve a tutti! 
Sono alle prese con un' applicazione lineare e mi si chiede di trovare il Kerf ed Imf e relative dimensioni.
L'applicazione è la seguente f $ R^3 --> R^3 $ $ f=(x,y,z)--->(-kx+y,-y,-2x-3y+kz) $.Io ho proceduto in questo modo:
1-Estraggo dall'applicazione il sistema associato:
$ { -kx+y=0,
${-y=0,
${-2x-3y+kz=0 $
2-risolvendolo si ottiene $x=0,y=0,z=0$ questo mi dice che $kerf=(0,0,0)$ e la sua dimensione (data dal numero delle variabili in soluzione) in questo caso è 0.Da questo evinco che $Dim Imf=3$ dato che $Dim Kerf(0)=$Dim vettore (3)$-Dim Imf(3)$.
3-Dato che la dimensione dell'Imf è 3 estraggo tutte e tre le colonne per formare la base di Imf:
$Base Imf( (-k,0,-2) , (1,-1,-3) , (0,0,k))$ è tutto corretto? è così che possiamo procedere ogni volta?
Spero di aver dato una mano a chi si trova alle prese con Applicazioni lineari Kerf ed Imf!!(Se Giusto!
)
PS:è giusto lasciare nella base il parametro k?
Grazie mille! (Spero di non aver fatto danni questa volta)
Sono alle prese con un' applicazione lineare e mi si chiede di trovare il Kerf ed Imf e relative dimensioni.
L'applicazione è la seguente f $ R^3 --> R^3 $ $ f=(x,y,z)--->(-kx+y,-y,-2x-3y+kz) $.Io ho proceduto in questo modo:
1-Estraggo dall'applicazione il sistema associato:
$ { -kx+y=0,
${-y=0,
${-2x-3y+kz=0 $
2-risolvendolo si ottiene $x=0,y=0,z=0$ questo mi dice che $kerf=(0,0,0)$ e la sua dimensione (data dal numero delle variabili in soluzione) in questo caso è 0.Da questo evinco che $Dim Imf=3$ dato che $Dim Kerf(0)=$Dim vettore (3)$-Dim Imf(3)$.
3-Dato che la dimensione dell'Imf è 3 estraggo tutte e tre le colonne per formare la base di Imf:
$Base Imf( (-k,0,-2) , (1,-1,-3) , (0,0,k))$ è tutto corretto? è così che possiamo procedere ogni volta?
Spero di aver dato una mano a chi si trova alle prese con Applicazioni lineari Kerf ed Imf!!(Se Giusto!
)PS:è giusto lasciare nella base il parametro k?
Grazie mille! (Spero di non aver fatto danni questa volta)
Risposte
Devi considerare se $k ne 0 $ allora vale quello che hai scritto, ma se$ k =0 $ le cose cambiano : analizza questo caso .
"Camillo":
Devi considerare se $k ne 0 $ allora vale quello che hai scritto, ma se$ k =0 $ le cose cambiano : analizza questo caso .
Vero!
Infatti con k=0 il sistema avrà come soluzioni: $ 0=0$ per ogni x, $y=0$ e $z=0 $ Dunque il $ Kerf$ sarà $(x,0*,0*)$ con dimensione 1, Quindi
Dim Kerf (1)= Dim vettore(3) - Dim Imf(2) dunque Imf saranno le 2 colonne dove compare 0 nel Kerf* quindi la 2a e la 3a dunque la base sarà
$((1,-1,-3),(0,0,0))$ Ora dovrebbe essere tutto risolto!
Spero......
Se $ k=0 $ le equazioni diventano
$ y=0 $
$-y=0 $
$-2x-3y =0 $
da cui le soluzioni $ x=y=0 $ mentre $ z $ può assumere qualunque valore .
Quindi $ker f = (....... ) $ ; $dim ker f = 1$ , una base = .......
Prosegui tu
$ y=0 $
$-y=0 $
$-2x-3y =0 $
da cui le soluzioni $ x=y=0 $ mentre $ z $ può assumere qualunque valore .
Quindi $ker f = (....... ) $ ; $dim ker f = 1$ , una base = .......
Prosegui tu
"Camillo":
Se $ k=0 $ le equazioni diventano
$ y=0 $
$-y=0 $
$-2x-3y =0 $
da cui le soluzioni $ x=y=0 $ mentre $ z $ può assumere qualunque valore .
Quindi $ker f = (....... ) $ ; $dim ker f = 1$ , una base = .......
Prosegui tu
Per cui,Riassumendo:Per k diverso da 0 $ Kerf(0,0,0)Dim=0$ ed $ Imf(-k,0,-2)(1,-1,-3)(0,0,k)Dim=3$ mentre
Per k=0 $ Kerf(0,y,0)Dim=1$ ed $ Imf(0,0,-2)(1-1-3)Dim=2$!!
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