Applicazione lineare tra R e polinomi

[sgabryx]

Salve a tutti. Sono alle prese con un esercizio definito su spazi con i quali non avevo mai lavorato. Ho un'applicazione lineare
$ f:(a,b,c)in R^3 rarr ax^4+(a+b )x^3+(a+b+c)x^2 in R[x]4 $

Mi chiede di calcolare dimensione di nucleo e immagine.
Io però ho difficoltà a definire la matrice associata a tale immagine. Qualcuno può aiutarmi? Grazie

[cooper1]

puoi usare l'isomorfismo canonico tra $RR_(<=n)$ e $RR^(n+1)$ trovandoti così a lavorare con solo i vettori.

[sgabryx]

Purtroppo non conosco questo isomorfismo, è la primissima volta che lavoro con i polinomi. Potresti spiegarmelo?

[cooper1]

consideriamo come qui n=4. allora un generico polinomio è della forma $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$. L'isomorfismo associa a questo polinomio il vettore $(a,b,c,d,e)$. in pratica al posto di continuare ad usare il polinomio usi un vettore.
per completezza esiste anche un isomorfismo canonico tra le matrici $n xx n$, indicate da $M_(n)$ con $RR^(n^2)$, analogamente con $CC$ se lavori con i complessi.
tornando al tuo esercizio il tuo polinomio usando l'isomorfismo diventa: $(a, a+b, a+b+c ,0 ,0)$

[sgabryx]

E quindi poi la matrice associata diventa $ ((a,0,0,0,0),(0,a+b,0,0,0),(0,0,a+b+c,0,0),(0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0)) $ giusto?

[cooper1]

ehm no.. come può essere una matrice quadrata se la funzione va da $RR^3$ a $RR^5$?
ti serve una matrice tale che $M*( (a),(b),(c)) = ((a),(a+b),(a+b+c),(0),(0))$

[sgabryx]

Ovviamente.
E quindi come faccio più a trovare questa matrice?

[cooper1]

ma è già praticamente scritta, soprattutto se riferito alla base canonica. leggi questo link. la parte "matrice associata a partire dalla generica immagine". se ancora non sai come fare riscrivi pure.

[sgabryx]

Per caso è $ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ ?

[cooper1]

è proprio lei

[sgabryx]

Che cosa bella. Questa conversazione è stata illuminante. Grazie infinite