Applicazione lineare tra polinomi

[Berker]

Sia \(\displaystyle f \) un'applicazione lineare \(\displaystyle f: R_{\leq 3}[x] \rightarrow R_{\leq 3}[x] \) tale che $$f(1+x+x^2)=f(x-x^3)=f(1)=f(x+x^2)$$
(i)Determinare la dimensione del nucleo e dell'immagine.
(ii) Sia $g$ l'applicazione lineare che soddisfa le proprietà sopra e tale che $$g(x)=1+2x+3x^2+4x^3$$
Determinare la matrice rappresentativa di g rispetto alla base $S=\{1,x,x^2,x^3 \}$ in entrata e uscita.

(i) Da quelle condizioni ricavo che $f(1)=0$ e $f(x)=f(x^3)=-f(x^2)$ ma ora come faccio a determinare la loro dimensione? Mi verrebbe da dire che dim(ker)=1 e automaticamente la dim(Im)=3, ma ciò non è vero, e lo capisco dal punto due

(ii)ho $g(1)=0$ e $g(x)=g(x^3)=-g(x^2)=1+2x+3x^2+4x^3$ da cui segue che \(\displaystyle M_{S} ^{S} (g)=\left[\begin{matrix} 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -2 & 2 \\ 0 & 3 & -3 & 3 \\ 0 & 4 & -4 & 4\end{matrix}\right] \).
Quindi dim(Im)=1!

Quindi come fare il punto (i)?

[anonymous_0b37e9]

Poichè le combinazioni lineari dei $4$ polinomi sottostanti:

$P_1(x)=1+x+x^2$

$P_2(x)=x-x^3$

$P_3(x)=1$

$P_4(x)=x+x^2$

generano un sottospazio vettoriale di dimensione $3$:

$rango((1,0,1,0),(1,1,0,1),(1,0,0,1),(0,-1,0,0))=3$

se si esclude l'applicazione lineare $f$ identicamente nulla, deve necessariamente essere:

$dim(Ker(f))=3$

$dim(Im(f))=1$