Applicazione lineare Surgettiva/Ingettiva??
Girovagando per il web, soprattutto su questo forum ho trovato tante tipologie di esercizi per determinare se un'applicazione lineare è surgettiva e/o ingettiva. Qualcuno mi può riassumere quanti metodi esistono o comunque in generale come capire se un'applicazione lineare è ingettiva e/o surgettiva?
Grazie
Grazie
Risposte
Scrivi una matrice della tua applicazione, e guarda le sue colonne.
E' iniettiva se e solo se le colonne sono indipendenti.
E' suriettiva se e solo se le colonne generano.
Con "generano" intendo "generano il codominio".
E' iniettiva se e solo se le colonne sono indipendenti.
E' suriettiva se e solo se le colonne generano.
Con "generano" intendo "generano il codominio".
e se non fosse una matrice?
io ho un'applicazione lineare espressa così: f(x,y,z,t)=(x-y-t,2x-t,3z-t)
io ho un'applicazione lineare espressa così: f(x,y,z,t)=(x-y-t,2x-t,3z-t)
Ogni applicazione lineare ammette un'unica espressione matriciale rispetto a due basi prefissate. Questa è la teoria di base, probabilmente è meglio che la studi in dettaglio prima di provare a cimentarti con questi esercizi "meccanici".
Nel tuo caso, le basi sono quelle canoniche e la matrice associata è
[tex]\left( \begin{matrix} 1 & -1 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 3 & -1 \end{matrix} \right)[/tex]
Nel tuo caso, le basi sono quelle canoniche e la matrice associata è
[tex]\left( \begin{matrix} 1 & -1 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 3 & -1 \end{matrix} \right)[/tex]
grazie per le risposte.
per esempio io ho trovato che : f è ingettiva $ hArr Kerf = { 0 } $ ?
e surgettiva??
per esempio io ho trovato che : f è ingettiva $ hArr Kerf = { 0 } $ ?
e surgettiva??
E' surgettiva se la dimensione dell'immagine è pari alla dimensione del codominio.
Se $f:U \to V$ con $U,V$ sp. vettoriale, $f$ lineare, allora $dimU=dimkerf+dimImf$ da cui potresti ricavare qualche informazione utile.
Nel senso che mostri che $dimImf=dimV$ la tua applicazione è surgettiva
Se $f:U \to V$ con $U,V$ sp. vettoriale, $f$ lineare, allora $dimU=dimkerf+dimImf$ da cui potresti ricavare qualche informazione utile.
Nel senso che mostri che $dimImf=dimV$ la tua applicazione è surgettiva
ma come si calcola la dim Imf ?
La dimensione dell'immagine è la dimensione dello spazio vettoriale generato dalle colonne, ossia è il numero di colonne linearmente indipendenti, ossia è il numero di righe linearmente indipendenti, ossia è il rango della matrice.
Come ho già detto, questi sono esercizi meccanici e ripetitivi, che però non possono essere affrontati senza una discreta conoscenza della teoria...
Come ho già detto, questi sono esercizi meccanici e ripetitivi, che però non possono essere affrontati senza una discreta conoscenza della teoria...
se invece mi viene chiesto di considerare l'endomorfismo in $ R^4 $ definito ponendo f(x,y,z,t)=(-x+t,-y+z,x-t,y-z) e stabilire quale dei seguenti vettori appartiene a $ Im (f) $ ?
A. (5,3,-5,-3)
B. (5,3,3,5)
C. (3,5,-3,-5)
D. (5,3,5,3)
A. (5,3,-5,-3)
B. (5,3,3,5)
C. (3,5,-3,-5)
D. (5,3,5,3)
Guarda non è difficile, basta ricordarsi la definizione di $imf$. Ti si chiede in particolare se esiste un vettore $v in RR^4$ tale che $f(v)=u$ con $u$ che varia tra i tuoi vettori.
Alla fine ti riduci a risolvere un sistema, nulla di più
Alla fine ti riduci a risolvere un sistema, nulla di più
io effetivamente ho sostituito i valori delle soluzioni nell'applicazione. Solo una mi da come risultato (0,0,0,0).. un mio amico dice che è questa la soluzione esatta ma secondo me non va bene. quella andrebbe bene se fosse richiesto il kerf non Imf. sempre per quanto ho capito io......
Non riesco a capire perdonami. Prova a postare i tuoi calcoli.
io ho le varie soluzioni A, B, C, D che mi da l'esercizio. Questi vettori li sostituisco nell'applicazione lineare f(x,y,z,t)=(-x+t,-y+z,x-t,y-z)
in questo modo:
A. (5,3,-5,-3) ho f(x,y,z,t) = (-8,-8,8,8)
B. (5,3,3,5) ho f(x,y,z,t) = (0,0,0,0)
C. (3,5,-3,-5) ho f(x,y,z,t) = (-8,-8,8,8)
D. (5,3,5,3) ho f(x,y,z,t) = (-2,2,2,-2)
per quanto ho capito la B mi da il kerf, mentre io ho bisogno dell'Imf
mi sono spiegato?
in questo modo:
A. (5,3,-5,-3) ho f(x,y,z,t) = (-8,-8,8,8)
B. (5,3,3,5) ho f(x,y,z,t) = (0,0,0,0)
C. (3,5,-3,-5) ho f(x,y,z,t) = (-8,-8,8,8)
D. (5,3,5,3) ho f(x,y,z,t) = (-2,2,2,-2)
per quanto ho capito la B mi da il kerf, mentre io ho bisogno dell'Imf
mi sono spiegato?
Sì ed hai sbagliato. 
Tu stai calcolando le immagini di quei vettori. L'esercizio ti chiede invece se quei vettori appartengono all'imf.
Cioè se esiste un vettore di $RR^4$ tale che $f(x,y,z,t)=(-x+t,-y+z,x-t,y-z)=(5,3,-5,-3)$. Eguagliando componente per componente e risolvendo il sistema che ne vien fuori ottieni la soluzione.
Se il sistema non ammette soluzione vuol dire che tale vettore non appartiene all'$imf$
Tu stai calcolando le immagini di quei vettori. L'esercizio ti chiede invece se quei vettori appartengono all'imf.
Cioè se esiste un vettore di $RR^4$ tale che $f(x,y,z,t)=(-x+t,-y+z,x-t,y-z)=(5,3,-5,-3)$. Eguagliando componente per componente e risolvendo il sistema che ne vien fuori ottieni la soluzione.
Se il sistema non ammette soluzione vuol dire che tale vettore non appartiene all'$imf$
quindi come procedo?
faccio il sistema
-x+t=5
-y+z=3
x-t=-5
y-z=-3
per ogni soluzione? scusa ma sto fondendo
faccio il sistema
-x+t=5
-y+z=3
x-t=-5
y-z=-3
per ogni soluzione? scusa ma sto fondendo
Risolvi il sistema no?
Bada bene che a te non interessa trovare tutte le soluzioni, ma almeno una.
Bada bene che a te non interessa trovare tutte le soluzioni, ma almeno una.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo