Applicazione lineare sottoforma di matrice
è da ieri che non riesco a venire a capo di questo esercizio, aiuto!
Al variare del parametro $ h in RR $, sia assegnata l' app. lineare $ f_(h) : RR^2 -> M_(2) (RR) $
$ f_(h) (x,y) = ( (x+(h+2)y ,(h+2)x+ (h+4)y) , (2x+(h+1)y , 0 ) ) $
Determinare h in RR affinché sia $ dim( Im(f_(h))) = 1 $
Partendo dal presupposto che $ Im_(f) = L (f_(bar (e)_(1) ) , f_(bar (e)_(2) ) ) $ , ho sostituito gli elementi delle basi $ bar (e)_(1) = ( 1 , 0 )$ e $ bar (e)_(2) = ( 0 , 1) $ ai rispettivi elementi della mia matrice $ f_(h) (x,y) $ e seguendo questo metodo sono arrivato ad ottenere una matrice di questo tipo:
$ ( (1, h+2 ) , (h+2 , h+4) , (2, h+1) , (0 , 0 ) ) $
che deve avere il rango = 1 . come faccio a ricavare una sola h in modo tale che il rango sia quello? Grazie mille anticipatamente
Al variare del parametro $ h in RR $, sia assegnata l' app. lineare $ f_(h) : RR^2 -> M_(2) (RR) $
$ f_(h) (x,y) = ( (x+(h+2)y ,(h+2)x+ (h+4)y) , (2x+(h+1)y , 0 ) ) $
Determinare h in RR affinché sia $ dim( Im(f_(h))) = 1 $
Partendo dal presupposto che $ Im_(f) = L (f_(bar (e)_(1) ) , f_(bar (e)_(2) ) ) $ , ho sostituito gli elementi delle basi $ bar (e)_(1) = ( 1 , 0 )$ e $ bar (e)_(2) = ( 0 , 1) $ ai rispettivi elementi della mia matrice $ f_(h) (x,y) $ e seguendo questo metodo sono arrivato ad ottenere una matrice di questo tipo:
$ ( (1, h+2 ) , (h+2 , h+4) , (2, h+1) , (0 , 0 ) ) $
che deve avere il rango = 1 . come faccio a ricavare una sola h in modo tale che il rango sia quello? Grazie mille anticipatamente
Risposte
Ciao, la matrice che hai ottenuto ha rango 1 se i suoi vettori colonna sono linearmente dipendenti, quindi devi trovare una costante $k$ in modo che sia
$((1),(h+2),(2),(0)) = k ((h+2),(h+4),(h+1),(0))$. Così ottieni un sistema lineare di 3 equazioni in 2 incognite. Trovi il valore di $k$ per cui ha soluzione e di conseguenza trovi il valore di $h$ cercato.
$((1),(h+2),(2),(0)) = k ((h+2),(h+4),(h+1),(0))$. Così ottieni un sistema lineare di 3 equazioni in 2 incognite. Trovi il valore di $k$ per cui ha soluzione e di conseguenza trovi il valore di $h$ cercato.
grazie per aver risposto ! Non riesco a capire come fare ad arrivare al sistema di 3 eq in 2 incognite però...
Eccolo qui:
$\{(1=k(h+2)),(h+2=k(h+4)),(2=k(h+1)):}$
Ho semplicemente riscritto la dipendenza lineare fra i due vettori colonna.
Ci sarebbe anche la quarta equazione, che lega le quarte componenti dei due vettori, ma è tutta nulla : $0=k0$.
$\{(1=k(h+2)),(h+2=k(h+4)),(2=k(h+1)):}$
Ho semplicemente riscritto la dipendenza lineare fra i due vettori colonna.
Ci sarebbe anche la quarta equazione, che lega le quarte componenti dei due vettori, ma è tutta nulla : $0=k0$.
se avessi invece tre incognite anziché 2 (cioè che la matrice abbia tre colonne) come gestisco il discorso con il parametro k? come diventa il sistema?
Anche in questo caso la matrice ha rango 1 se i suoi vettori colonna sono linearmente diperndenti. In particolare devono essere tutti paralleli. Lo stesso vale per un qualsiasi numero di vettori colonna: se la amtrice deve avere rango 1, devono essere tutti paralleli ad uno stesso vettore di riferimento, devono tutti individuare un'unica direzione.
Supponiamo che il terzo vettore sia $((a_1),(a_2),(a_3),(a_4))$ e sia $l$ costante. Allora posso scrivere un altro sistema che imponga la dipendenza lineare fra il primo e il terzo vettore:
$((1),(h+2),(2),(0))= l((a_1),(a_2),(a_3),(a_4))$, ossia $\{(1= la_1),(h+2 = la_2),(2= la_3),(0=la_4):}$.
Quindi con questo sistema trovi il parametro $l$ che dà il parallelismo fra il primo vettore colonna e il terzo, mentre con l'altro sistema trovi il parametro $k$ che dà il parallelismo fra il primo vettore colonna e il secondo.
Supponiamo che il terzo vettore sia $((a_1),(a_2),(a_3),(a_4))$ e sia $l$ costante. Allora posso scrivere un altro sistema che imponga la dipendenza lineare fra il primo e il terzo vettore:
$((1),(h+2),(2),(0))= l((a_1),(a_2),(a_3),(a_4))$, ossia $\{(1= la_1),(h+2 = la_2),(2= la_3),(0=la_4):}$.
Quindi con questo sistema trovi il parametro $l$ che dà il parallelismo fra il primo vettore colonna e il terzo, mentre con l'altro sistema trovi il parametro $k$ che dà il parallelismo fra il primo vettore colonna e il secondo.
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