Applicazione lineare nello spazio dei polinomi
Si consideri la funzione
$f : R2[x] → R2[x], p(x) ---> (-1/2 x^2 + 1/2 x +3/2) p''(x) + (3x + 2) p'(x) + p(x)$
determinare:
1. se f è lineare
2. f è un isomorfismo
3. f è semplice
non capisco come impostare l esercizio
$f : R2[x] → R2[x], p(x) ---> (-1/2 x^2 + 1/2 x +3/2) p''(x) + (3x + 2) p'(x) + p(x)$
determinare:
1. se f è lineare
2. f è un isomorfismo
3. f è semplice
non capisco come impostare l esercizio
Risposte
i)
usa la definizione di applicazione lineare...
ii)
$f$ e' isomorfismo se tale applicazione e' biettiva. Ossia iniettiva e suriettiva... ti basta cercare il $ker$ e $Im$ di $f$ e facendo le opportune considerazioni puoi determinarlo.
usa la definizione di applicazione lineare...
ii)
$f$ e' isomorfismo se tale applicazione e' biettiva. Ossia iniettiva e suriettiva... ti basta cercare il $ker$ e $Im$ di $f$ e facendo le opportune considerazioni puoi determinarlo.
ciao feddy,
vorrei capire come esplicitare la funzione, come arrivare alla matrice associata
vorrei capire come esplicitare la funzione, come arrivare alla matrice associata
sfrutta l'isomorfismo tra $R^n[X]$ e $R^(n+1)$ rispetto alla base canonica.
per esempio il polinomio $x^2 + 2$ si puo scrivere come $[1,0,1]$ sfruttando questo fatto
Prova a guardare qui
per esempio il polinomio $x^2 + 2$ si puo scrivere come $[1,0,1]$ sfruttando questo fatto
Prova a guardare qui
scusami davvero ma non riesco ad afferrare il concetto, potresti farmi un esempio prendendo il mio esercizio?
Grazie mille per la tua disponibilità
Grazie mille per la tua disponibilità
Ci sono molte discussioni su questo argomento in questa sezione. Prova a studiarti un po' l'esempio che ti ho mandato.
Ti invito anche a scrivere le formule in modo leggibile poiche' non si capisce benissimo la definizione di tale applicazione
Ti invito anche a scrivere le formule in modo leggibile poiche' non si capisce benissimo la definizione di tale applicazione
ho cercato ma non ne trovo di esercizi simili, dovrei fare la derivata?
Mi pare strano che anche nel web non ce ne siano... prova a scrivere qui il tuo svolgimento 
non so come scrivere le formule quindi ti mando una foto del mio ragionamento, non ho problemi per la linearità ma per trovare la matrice associata
Ok. Il segreto sta nel lavorare in coordinate rispetto ad una specifica base, che sarà quella canonica $xi $.
Per trovare una matrice associata è sufficiente disporre per colonne le immagini dei vettori della base canonica tramite l'applicazione.
Praticamente, ogni polinomio del tuo spazio può essere scritto in coordinate tramite un isomorfismo tra $R^2[X] $ e $R^(3) $.
Nel tuo caso quindi dovrai lavorare con vettori di $R^3$.
Per trovare una matrice associata è sufficiente disporre per colonne le immagini dei vettori della base canonica tramite l'applicazione.
Praticamente, ogni polinomio del tuo spazio può essere scritto in coordinate tramite un isomorfismo tra $R^2[X] $ e $R^(3) $.
Nel tuo caso quindi dovrai lavorare con vettori di $R^3$.
P.S.: ti prego impara a scrivere le formule e a non mandare come immagine il tuo svolgimento come da regolamento
quindi i miei calcoli sono errati visto che ho preso R2[X]?
No no vanno bene così.
Hai trovato com'è definita la tua applicazione.
Adesso prova a scrivere la definizione della tua applicazione in coordinate.
Poi trova l'immagine di $[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]$ tramite $f$. Mettile per colonne e avrai la tua matrice
Hai trovato com'è definita la tua applicazione.
Adesso prova a scrivere la definizione della tua applicazione in coordinate.
Poi trova l'immagine di $[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]$ tramite $f$. Mettile per colonne e avrai la tua matrice
[6,0,0],[5,4,0],[3,2,1] questi sono i vettori della matrice che ho trovato
Bene, hai ottenuto la matrice associata se li disponi per colonne.
Ora puoi risalire al ker e Im e vedere se è biettiva e quindi ...
Ora puoi risalire al ker e Im e vedere se è biettiva e quindi ...
sisi, ora è tutto in discesa. Ti ringrazio infinitamente
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