Applicazione Lineare: Matrice associata a una base ??!
Salve a tutti, non ho saputo risolvere questo esercizio.
Data l'applicazione lineare f : R ^ (2,2) ----> R 3 dall'anello delle matrici quadrate di ordine 2 allo spazio cartesiano R3
f ( $ ( ( x , y ),( z , t ) ) $ ) = (x+y-z, 2x+3y-4t, y+2z-4t)
Determinare la matrice associata ad f rispetto alle basi
1 ) $ ( ( 1 , 2 ),( 4 , -1 ) ) $ , $ ( ( 0 , 1 ),( 3 , 2 ) ) $ , $ ( ( 0 , 0 ),( 1 , -3 ) ) $ , $ ( ( 0 , 0 ),( 0 , -1 ) ) $
2) ( (1,0,0), (0,1,0) , (0,0,1) )
Come si procede? Per il primo punto avevo pensato di far agire la f sulle 4 matrici che formano la base dello spazio R(2,2). ma così ottengo la matrice associata rispetto alla base canonica :/ come fare per trovare la matrice associata
a quelle due basi? Grazie
Data l'applicazione lineare f : R ^ (2,2) ----> R 3 dall'anello delle matrici quadrate di ordine 2 allo spazio cartesiano R3
f ( $ ( ( x , y ),( z , t ) ) $ ) = (x+y-z, 2x+3y-4t, y+2z-4t)
Determinare la matrice associata ad f rispetto alle basi
1 ) $ ( ( 1 , 2 ),( 4 , -1 ) ) $ , $ ( ( 0 , 1 ),( 3 , 2 ) ) $ , $ ( ( 0 , 0 ),( 1 , -3 ) ) $ , $ ( ( 0 , 0 ),( 0 , -1 ) ) $
2) ( (1,0,0), (0,1,0) , (0,0,1) )
Come si procede? Per il primo punto avevo pensato di far agire la f sulle 4 matrici che formano la base dello spazio R(2,2). ma così ottengo la matrice associata rispetto alla base canonica :/ come fare per trovare la matrice associata
a quelle due basi? Grazie
Risposte
È la stessa che se tu lavorassi in \(\mathbb{R}^4\).
Credo che il suggerimento di vic85 sia risolutivo per il quesito, occorre solo passare ai dettagli. Come detto sostituiamo ogni matrice 2x2 con un vettore di $mathbb{R^4}$ al seguente modo :
$((a,b),(c,d))->((a),(b),(c),(d))$
Con questa sostituzione ( che è poi un isomorfisma $mathbb{R^{2x2}}->mathbb{R^4}$) la matrice Q associata alla base indicata per $mathbb{R^{(2x2}}$ è:
$Q= ((1,0,0,0),(2,1,0,0),(4,3,1,0),(-1,2,-3,-1)) $
mentre la matrice Q' associata alla base indicata per $mathbb{R^3}$ è la base canonica.
Infine la matrice dell'applicazione f è :
$A= ((1,1,-1,0),(2,3,0,-4),(0,1,2,-4)) $
dalla teoria deriva che la matrice associata richiesta è :
(1) $M=(Q')^{-1} cdot A cdot Q$
Poiché $Q'$ è la base canonica, la (1) si riduce a :
$M=A cdot Q =((1,1,-1,0),(2,3,0,-4),(0,1,2,-4)) cdot ((1,0,0,0),(2,1,0,0),(4,3,1,0),(-1,2,-3,-1))$
Dovrebbe risultare così ( comunque fai la verifica) :
$M=((-1,-2,-1,0),(12,-5,12,4),(14,-1,14,4))$
$((a,b),(c,d))->((a),(b),(c),(d))$
Con questa sostituzione ( che è poi un isomorfisma $mathbb{R^{2x2}}->mathbb{R^4}$) la matrice Q associata alla base indicata per $mathbb{R^{(2x2}}$ è:
$Q= ((1,0,0,0),(2,1,0,0),(4,3,1,0),(-1,2,-3,-1)) $
mentre la matrice Q' associata alla base indicata per $mathbb{R^3}$ è la base canonica.
Infine la matrice dell'applicazione f è :
$A= ((1,1,-1,0),(2,3,0,-4),(0,1,2,-4)) $
dalla teoria deriva che la matrice associata richiesta è :
(1) $M=(Q')^{-1} cdot A cdot Q$
Poiché $Q'$ è la base canonica, la (1) si riduce a :
$M=A cdot Q =((1,1,-1,0),(2,3,0,-4),(0,1,2,-4)) cdot ((1,0,0,0),(2,1,0,0),(4,3,1,0),(-1,2,-3,-1))$
Dovrebbe risultare così ( comunque fai la verifica) :
$M=((-1,-2,-1,0),(12,-5,12,4),(14,-1,14,4))$
Grazie 
Si ho verificato, alla fine la matrice M è quella.
Una cosa però non ho capito. Come faccio a trovare la matrice associata rispetto alla base
( (1,0,0), (0,1,0) , (0,0,1) ) ??? Basta semplicemente far agire la f sulle matrici che formano
la base canonica del dominio? Oppure occorre fare qualcos'altro?
E poi quando dice "determinare la matrice associata rispetto alla base ( (1,0,0), (0,1,0) , (0,0,1) )
.. beh ecco questa base si intende nel codominio ????? :/
Si ho verificato, alla fine la matrice M è quella.Una cosa però non ho capito. Come faccio a trovare la matrice associata rispetto alla base
( (1,0,0), (0,1,0) , (0,0,1) ) ??? Basta semplicemente far agire la f sulle matrici che formano
la base canonica del dominio? Oppure occorre fare qualcos'altro?
E poi quando dice "determinare la matrice associata rispetto alla base ( (1,0,0), (0,1,0) , (0,0,1) )
.. beh ecco questa base si intende nel codominio ????? :/
Le matrici Q e Q' non richiedono calcoli particolari : semplicemente hanno per colonne i vettori che compongono le basi date. Per l'altra domanda, dal momento che si parla di applicazione $f: mathbb{R^{2x2}}->mathbb{R^3}$, io interpreto la base (1), riportata nel testo, come base nel dominio e la base (2) come base nel codominio.
quindi quale è la matrice associata alla base del punto 2)? come faccio a trovarla ??? :/
Come ho già scritto, si ha :
$Q'=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$
$Q'=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$
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