Applicazione lineare M(2x2,R)-->R3

[daniele_cmp]

Non so come procedere con questo esercizio:

Sia $f:M(2x2,RR)->RR^3$ l'applicazione lineare tale che:
$f((1,1),(0,0))=((0),(1),(1))$, $f((-1,0),(0,-1))=((1),(0),(1))$, $f((0,0),(1,1))=((1),(-1),(0))$, $f((0,0),(1,0))=((0),(0),(0))$
a) Scrivere la matrice di f in basi arbitrariamente scelte (da dichiarare)
b) Stabilire se $((2,1),(1,2)) in Kerf$ o no
c) Stabilire se $((3),(1),(2)) in Imf$ o no

Allora, per il punto a), visto che $rg((1,-1,0,0),(1,0,0,0),(0,0,1,1),(0,-1,1,0))=4$, quelle quattro matrici sono LI e quindi le posso scegliere come base del dominio. Per il codominio posso prendere quella canonica. In questo modo la matrice dell'applicazione è $A=((0,1,1,0),(1,0,-1,0),(1,1,0,0))$. Per il punto b), dovrei impostare il sistema AX=0, cioè ${(x_2+x_3=0),(x_1-x_3=0),(x_1+x_2=0):}$, però poi non so come procedere. Per il punto c), calcolo $rgA=rg((0,1,1,0),(1,0,-1,0),(1,1,0,0))=2$, quindi posso scegliere ad esempio le prime due colonne, e quindi una base di Imf sarà costituita da quei due vettori. Per vedere se $((3),(1),(2)) in Imf$, imposto la combinazione lineare $((3),(1),(2))=a((0),(1),(1))+b((1),(0),(1))$ che non è soddisfatta, per cui $((3),(1),(2)) notin Imf$.

Mi potete aiutare soprattutto per il punto b? Grazie!

[cozzataddeo]

Per il punto b), il sistema

${(x_2+x_3=0),(x_1-x_3=0),(x_1+x_2=0):}$

ha solo 2 equazioni indipendenti, infatti ricavando $x_2$ dall'ultima e sostituendola nella prima si ha

${(x_1-x_3=0),(x_1-x_3=0),(x_2=-x_1):}$

Quindi, tenendo solo le ultime 2 equazioni si ricava

${(x_3=x_1),(x_2=-x_1):}$

perciò la soluzione del tuo sistema in forma parametrica è

${(x_1=t),(x_2=-t),(x_3=t),(x_4=u):}$

ovvero è il seguente sottospazio.

$S=<((1),(-1),(1),(0)),((0),(0),(0),(1))> =kerf$

Tali vettori ti danno le coordinate di una base del $ker$ della tua applicazione rispetto alla base scelta in $M(2x2,RR)$.
Ora la tua matrice $B=((2,1),(1,2))$ può essere espressa nella base scelta nel seguente modo

$B=((2,1),(1,2)) = ((1,1),(0,0))-((-1,0),(0,-1))+((0,0),(1,1))+0((0,0),(1,0))$

e quindi ha coordinate $v=((1),(-1),(1),(0))$. Per verificare se appartiene al $kerf$ devi verificare se $v$ appartiene ad $S$, ovvero se $v$ può essere espresso mediante combinazione lineare a coefficienti reali dei due vettori che danno una base di $S$.
In questo caso si vede senza fare nessun conto che $v \in kerf$.

Questo procedimento non è però il piú rapido. Poiché l'esercizio ti chiede semplicemente di verificare se $B$ appartiene al $kerf$ è sufficiente individuare le coordinate di $B$ rispetto alla base scelta, ovvero calcolare il vettore $v$ e poi vedere se risulta
$Av=0$
In caso affermativo allora $B \in kerf$, altrimenti no. Certo, in questo modo non trovi una base di $kerf$ ma in fondo non ti viene richiesto...

[daniele_cmp]

"Cozza Taddeo":
Ora la tua matrice $B=((2,1),(1,2))$ può essere espressa nella base scelta nel seguente modo

$B=((2,1),(1,2)) = ((1,1),(0,0))-((-1,0),(0,-1))+((0,0),(1,1))+0((0,0),(1,0))$

e quindi ha coordinate $v=((1),(-1),(1),(0))$.

Quindi se fin da subito avessi scelto come base del dominio la canonica, non avrei avuto bisogno di trovare le coordinate di B, o meglio, sarebbero state le coordinate di B rispetto alla base canonica, ovvero la B stessa.

Ti ringrazio

[cozzataddeo]

"daniele_cmp":
Quindi se fin da subito avessi scelto come base del dominio la canonica, non avrei avuto bisogno di trovare le coordinate di B, o meglio, sarebbero state le coordinate di B rispetto alla base canonica, ovvero la B stessa.

Non proprio. La base canonica in $M(2x2,RR)$ è la seguente

$e_1=((1,0),(0,0)), \quad e_2=((0,1),(0,0)), \quad e_3=((0,0),(1,0)), \quad e_4=((0,0),(0,1))$

e in tale base la tua matrice $B$ avrebbe avuto coordinate $v'=((2),(1),(1),(2))$.
Come vedi con questa scelta è immediato calcolarsi $v'$ (comunque anche nella scelta fatta da te il calcolo di $v$ è praticamente immediato) però avresti avuto lo svantaggio di dover fare piú conti per determinarti la matrice $A$ dell'applicazione lineare $f$ perché il testo dell'esercizio non ti dà direttamente le immagini della base canonica, e quindi avresti dovuto calcolartele a partire dalle immagini delle matrici fornite.
In sostanza la tua scelta della base per lo spazio $M(2x2,RR)$ è una buona scelta.

[daniele_cmp]

"Cozza Taddeo":
Non proprio. La base canonica in $M(2x2,RR)$ è la seguente

$e_1=((1,0),(0,0)), \quad e_2=((0,1),(0,0)), \quad e_3=((0,0),(1,0)), \quad e_4=((0,0),(0,1))$

e in tale base la tua matrice $B$ avrebbe avuto coordinate $v'=((2),(1),(1),(2))$.

Sì, perchè in effetti le coordinate si scrivono come vettore e non come una matrice.

Grazie ancora