Applicazione lineare, KerF e ImF

[geolyth]

Si consideri l’applicazione lineare f : R4 -> R3 tale che f(x1, x2, x3, x4) = (x1 + x2 - x3, x2 + x3 + 2 x4, x1 + x2 + x3 - x4).

(a) Determinare una base per il nucleo e una base per l’immagine di f.
(b) Scrivere la matrice M(f,R,R0) associata a f nei riferimenti
R = {(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1)}
e
R0 = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}.


A me vengono questi risultati (ma non so minimamente se ho fatto bene...):

Ho calcolato la dimensione dell'ImF studiando il rango della matrice a gradini dimImF = 3, sottraendo ho poi ottenuto che la dimKerF = 1.

Ho studiato il sistema omogeneo e mi è venuto che una base del KerF è (3 x4, -5/2 x4, 1/2 x4, x4)
Base del KerF = {(3, -5/2, 1/2, 1)}

Ho poi calcolato mediante la base canonica una base dell'ImF:
Base dell'ImF = {(0, 2, -1), (-1, 1, 1), (1, 1, 1)}

Infine la matrice associata mi viene:
1 -1 1
2 -1 1
3 -1 -1
2 2 -3

Spero qualcuno possa darmi delucidazioni sul mio operato...se ho fatto bene o male (probabile )...

Grazie a chi saprà darmi aiuto...

[misanino]

I calcoli non li ho controllati, ma il procedimento è corretto,
e i risultati per lo meno non sono contrastanti nel senso che la dimensione dell'immagine ti è uscita 3 e quella del nucleo 1 e sommati danno 4 come è giusto che sia (dato che lo spazio di partenza è $RR^4$)

[geolyth]

Vorrei capire se la matrice associata la ho calcolata bene...

Praticamente:

f(1,0,0,0) = (1,0,1) = +(1,1,1) -1(1,1,0) +(1,0,0)
ripetendo per tutti i vettori di R

mi viene una matrice associata
1 -1 1
2 -1 1
3 -1 -1
2 2 -3

è giusto?

[misanino]

"geolyth":Vorrei capire se la matrice associata la ho calcolata bene...

Praticamente:

f(1,0,0,0) = (1,0,1) = +(1,1,1) -1(1,1,0) +(1,0,0)
ripetendo per tutti i vettori di R

mi viene una matrice associata
1 -1 1
2 -1 1
3 -1 -1
2 2 -3

è giusto?

E' giusto tutto, a parte il fatto che tu hai messo i risultati ottenuti come righe e invece devi metterli come colonne e ottenere così una matrice 3x4.
Infatti se ci pensi hai $f:RR^4 rarr RR^3$ e quindi f si applica a vettori di $RR^4$ cioè elementi del tipo 4x1; e tu sai che posso fare il prodotto di una 3x4 con 4x1 ma non di una 4x3 con una 4x1.

[geolyth]

Hai ragione praticamente come ho scritto io la matrice è come se l'applicazione andasse da $R^3$ in $R^4$.

Essendo l'applicazione giusta da $R^4$ in $R^3$ devo avere 3 righe e quindi la matrice diventa:

1 2 3 2
-1 -1 -1 2
1 1 -1 -3

Grazieeeeeeeeeee