Applicazione lineare esercizio

[DarkestNight]

data t da R3 ad R3

la matrice associata rispetto alla base canonica è A

1 2 3
2 -1 -4
-1 3 7

1)determina coordinate rispetto alla base canonica dei vettori T(e1),T(e2),T(e3)
2)calcola dim e base kerT imT
3)determina il seguente sottoinsieme di R3
T^-1 (3 1 2) = [(xyz) E R3 | T(xyz)=(312)]

[weblan]

Cosa intendi per coordinate rispetto alla base canonica, cosa vuoi dire?

Per le dare le risposte devi utilizzare la matrice $A=((1,2,3),(2,-1,-4),(-1,3,7))$

Ricorda che $f(x,y,z)=((1,2,3),(2,-1,-4),(-1,3,7))((x),(y),(z))=(x+2y+3z,2x-y-4z,-x+3y+7z)$

[Kashaman]

Piccola nota per la risoluzione di Weblan. Quel metodo,cioè moltiplicare $A=((1,2,3),(2,-1,-4),(-1,3,7))$ per il vettore colonna $((x),(y),(z))$ va bene se e solo se la base scelta è quella canonica.
Invece di moltiplicare, si potrebbe fare come segue. Per definizione di $A$ sappiamo che
$f(1,0,0)=1*(1,0,0) +2(0,1,0)+(-1)(0,0,1)=(1,2,-1)$
$f(0,1,0)= 2(1,0,0)+(-1)(0,1,0)+3(0, 0 ,1)=(2,-1,3)$
$f(0,0,1)=3(1,0,0)-4(0,1,0)+7(0,0,1)=(3,-4,7)$
Allora , detto $(x,y,z) \in RR^3$ sappiamo che $(x,y,z) = x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1)$ (perché sto considerando la base canonica di $RR^3$ ) Quindi
$f(x,y,z) = f(x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1)=${sfrutto la linearità di f} $= xf(1,0,0)+yf(0,1,0)+zf(0,0,1)= $
$= (x,2x,-x)+(2y,-y,3y)+(3z,-4z,7z)= (x+2y-3z,2x-y-4z,-x+3y+7z)$.

[DarkestNight]

"Kashaman":Piccola nota per la risoluzione di Weblan. Quel metodo,cioè moltiplicare $A=((1,2,3),(2,-1,-4),(-1,3,7))$ per il vettore colonna $((x),(y),(z))$ va bene se e solo se la base scelta è quella canonica.
Invece di moltiplicare, si potrebbe fare come segue. Per definizione di $A$ sappiamo che
$f(1,0,0)=1*(1,0,0) +2(0,1,0)+(-1)(0,0,1)=(1,2,-1)$
$f(0,1,0)= 2(1,0,0)+(-1)(0,1,0)+3(0, 0 ,1)=(2,-1,3)$
$f(0,0,1)=3(1,0,0)-4(0,1,0)+7(0,0,1)=(3,-4,7)$
Allora , detto $(x,y,z) \in RR^3$ sappiamo che $(x,y,z) = x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1)$ (perché sto considerando la base canonica di $RR^3$ ) Quindi
$f(x,y,z) = f(x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1)=${sfrutto la linearità di f} $= xf(1,0,0)+yf(0,1,0)+zf(0,0,1)= $
$= (x,2x,-x)+(2y,-y,3y)+(3z,-4z,7z)= (x+2y-3z,2x-y-4z,-x+3y+7z)$.

per Kashman: io sapevo che il metodo di weblan si poteva usare sempre, no?
Anche io lo avrei fatto così weblan ma non ero per niente sicura! Ma quindi le coordinate devono essere espresse così:(x+2y-3z,2x-y-4z,-x+3y+7z)?
Per gli altri punti come devo procedere?
per il secondo punto userei la riduz a gradini di gauss e troverei rango e quindi dimensione e pivots quindi l'indicazione di quali sono le basi.
Per l'ultimo punto riapplico il tuo metodo Kashman?

grazie