Applicazione lineare e somma diretta
siano $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita e $L \in \End(V)$ tale che $L^2=id_v$. Siano $U=\ker(L+id_v)$; $W=\ker(L-id_v)$ .
Dimostrare che $V$ è somma diretta di $U$ e $W$.
Se è vero che $L^2=id_v$ implica $L(v)=v$ per ogni $v\in V$ ho finito, se no chiedo aiuto!
Vi ringrazio!
Dimostrare che $V$ è somma diretta di $U$ e $W$.
Se è vero che $L^2=id_v$ implica $L(v)=v$ per ogni $v\in V$ ho finito, se no chiedo aiuto!
Vi ringrazio!
Risposte
Secondo me $L^2=id_v$ non implica affatto $L(x)=x$ altrimenti sarebbe l'applicazione identica ovunque.
Io partirei col verificare che l'intersezione tra $U$ e $W$ è banale. Prendi $ v in U nn W$ allora questo vuol dire che $v in Ker(L+id_v)$ e $v in Ker(L-id_v)$, cioè...
Poi per verificare che $V=U \oplus W$ proverei con la doppia inclusione, che poi in realtà di basterebbe provare che $V \subset U \oplus W$
Io partirei col verificare che l'intersezione tra $U$ e $W$ è banale. Prendi $ v in U nn W$ allora questo vuol dire che $v in Ker(L+id_v)$ e $v in Ker(L-id_v)$, cioè...
Poi per verificare che $V=U \oplus W$ proverei con la doppia inclusione, che poi in realtà di basterebbe provare che $V \subset U \oplus W$
Ok, dimostrare che $U \nn W={0}$ è in effetti semplice...
Per il secondo punto sto cercando di far vedere che l'applicazione che manda la coppia $(u,w) \in U\oplusW$ in $u+w\in V$ è suriettiva, ma non saprei come ragionare bene...
Più che altro nei tentativi che sto facendo non c'entra mai l'ipotesi $L^2=id_v$
Qualche hint?
Per il secondo punto sto cercando di far vedere che l'applicazione che manda la coppia $(u,w) \in U\oplusW$ in $u+w\in V$ è suriettiva, ma non saprei come ragionare bene...
Più che altro nei tentativi che sto facendo non c'entra mai l'ipotesi $L^2=id_v$
Qualche hint?
Un attimo... Se
$U=\ker(L+id_v)={v\inV | (L+id_v)(v)=0}={v\inV | L(v)+id_v(v)=0}={v\inv | L(v)=-v}$;
$W=\ker(L-id_v)={v\inV | (L-id_v)(v)=0}={v\inV | L(v)-id_v(v)=0}={v\inv | L(v)=v}$
provare la tesi non è equivalente a provare che $L(v)=\pm v \ forallv\inV$?
$U=\ker(L+id_v)={v\inV | (L+id_v)(v)=0}={v\inV | L(v)+id_v(v)=0}={v\inv | L(v)=-v}$;
$W=\ker(L-id_v)={v\inV | (L-id_v)(v)=0}={v\inV | L(v)-id_v(v)=0}={v\inv | L(v)=v}$
provare la tesi non è equivalente a provare che $L(v)=\pm v \ forallv\inV$?
Direi di sì. Nel senso che se $L(v)=+-v$ la tesi è ovvia. Ora bisogna mostrare che $L(v)$ è di quella forma.
"ale.b":
Un attimo... Se
$U=\ker(L+id_v)={v\inV | (L+id_v)(v)=0}={v\inV | L(v)+id_v(v)=0}={v\inv | L(v)=-v}$;
$W=\ker(L-id_v)={v\inV | (L-id_v)(v)=0}={v\inV | L(v)-id_v(v)=0}={v\inv | L(v)=v}$
provare la tesi non è equivalente a provare che $L(v)=\pm v \ forallv\inV$?
"mistake89":
Direi di sì. Nel senso che se $L(v)=+-v$ la tesi è ovvia. Ora bisogna mostrare che $L(v)$ è di quella forma.
A me invece pare di no
Nel senso che non tutti gli endomorfismi $L$ tali che $L^2=id_V$ sono nella forma $L=id_V$ o $L=-id_V$.
Io direi che il primo suggerimento di Mistake andava bene.
Devi provare che $U\cap W={0}$, e a quanto pare l'hai già fatto (se ti va, scrivilo e ci daremo un'occhiata), e che $V=U+ W$.
Per dimostrare quest'ultimo fatto ti serve l'ipotesi che $L^2=id$.
Vuoi altri hint?
"cirasa":
[quote="ale.b"]Un attimo... Se
$U=\ker(L+id_v)={v\inV | (L+id_v)(v)=0}={v\inV | L(v)+id_v(v)=0}={v\inv | L(v)=-v}$;
$W=\ker(L-id_v)={v\inV | (L-id_v)(v)=0}={v\inV | L(v)-id_v(v)=0}={v\inv | L(v)=v}$
provare la tesi non è equivalente a provare che $L(v)=\pm v \ forallv\inV$?
"mistake89":
Direi di sì. Nel senso che se $L(v)=+-v$ la tesi è ovvia. Ora bisogna mostrare che $L(v)$ è di quella forma.
A me invece pare di no
[/quote]
E dire che avevo iniziato a risolverlo bene
Grazie cirasa e scusa ale.b
Allora, dimostro che $U\nnW={0}$:
sia$\ v\inU\nnW$; allora $(L+id_v)(v)=0\ e\ (L-id_v)(v)=0$ sse $L(v)+v=0\ e\ L(v)-v=0$
Sottraendo la seconda relazione dalla prima si ha
$2v=0$ sse $v=0$
Questa dovrebbe essere corretta... per dimostrare che $V=U+W$ però non so da dove partire...
sia$\ v\inU\nnW$; allora $(L+id_v)(v)=0\ e\ (L-id_v)(v)=0$ sse $L(v)+v=0\ e\ L(v)-v=0$
Sottraendo la seconda relazione dalla prima si ha
$2v=0$ sse $v=0$
Questa dovrebbe essere corretta... per dimostrare che $V=U+W$ però non so da dove partire...
Esatto, la prima parte è corretta*.
Ora dovresti provare che $V=U+W$.
Prendi $v\in V$ dovresti riuscire a trovare due vettori $u\in U$ (cioè $L(u)=-u$) e $w\in W$ (cioè $L(w)=w$) tali che $v=u+w$.
Io direi che una semplice osservazione può essere che
$v=1/2(v+L(v)+v-L(v))$
Vedi un po' che si può fare...
______________________
* Nota che hai usato l'ipotesi che il campo deve avere caratteristica diversa da 2.
In caso contrario il risultato che stai cercando di dimostrare non è vero!
Ora dovresti provare che $V=U+W$.
Prendi $v\in V$ dovresti riuscire a trovare due vettori $u\in U$ (cioè $L(u)=-u$) e $w\in W$ (cioè $L(w)=w$) tali che $v=u+w$.
Io direi che una semplice osservazione può essere che
$v=1/2(v+L(v)+v-L(v))$
Vedi un po' che si può fare...
______________________
* Nota che hai usato l'ipotesi che il campo deve avere caratteristica diversa da 2.
In caso contrario il risultato che stai cercando di dimostrare non è vero!
No, mi dispiace... non ci arrivo!
Stiamo provando che [tex]V=U+W[/tex], dove [tex]U=\ker(L+id_V)[/tex] e [tex]W=\ker(L-id_V)[/tex].
Dobbiamo provare che ogni elemento [tex]v\in V[/tex] si può scrivere come somma di un elemento di [tex]U[/tex] e di un elemento di [tex]W[/tex].
Osserva che [tex]$ v=\underbrace{\frac{1}{2}(v-L(v))}_{u}+\underbrace{\frac{1}{2}(v+L(v))}_{w}=u+w[/tex]
Bene, non ti resta che provare che [tex]u\in U[/tex] e [tex]w\in W[/tex].
Parti dal fatto che [tex]u=\frac{1}{2}(v-L(v))[/tex] e prova che [tex]u\in U[/tex] (cioè [tex]L(u)=-u[/tex]).
E allo stesso modo, parti dal fatto che [tex]w=\frac{1}{2}(v+L(v))[/tex] e prova che [tex]w\in W[/tex] (cioè [tex]L(w)=w[/tex]).
Dobbiamo provare che ogni elemento [tex]v\in V[/tex] si può scrivere come somma di un elemento di [tex]U[/tex] e di un elemento di [tex]W[/tex].
Osserva che [tex]$ v=\underbrace{\frac{1}{2}(v-L(v))}_{u}+\underbrace{\frac{1}{2}(v+L(v))}_{w}=u+w[/tex]
Bene, non ti resta che provare che [tex]u\in U[/tex] e [tex]w\in W[/tex].
Parti dal fatto che [tex]u=\frac{1}{2}(v-L(v))[/tex] e prova che [tex]u\in U[/tex] (cioè [tex]L(u)=-u[/tex]).
E allo stesso modo, parti dal fatto che [tex]w=\frac{1}{2}(v+L(v))[/tex] e prova che [tex]w\in W[/tex] (cioè [tex]L(w)=w[/tex]).
giusto!! Poi alla fine da lì era semplice, solo che mi sono accorto di non avere chiari alcuni concetti! ora ok, grazie mille
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