Applicazione lineare e somma diretta
Ciao a tutti, ho dei dubbi riguardo questo esercizio
Data l'applicazione lineare f: $RR^3$ $rarr$ $RR^3$ tale che:
f($e_1$)= $e_1$+h$e_3$ ; f($e_2$)= h$e_1$+$e_2$; f($e_3$)= 3$e_1$+h$e_3$
a) stabilire per quali valori del parametro h $in$ $RR$ risulta $RR^3$= Imm(f)⊕ker(f)
b) Dato un endomorfismo f $in$ End(V) tale che V =Imm(f)⊕Ker(f), vale sempre che $f^2$=f
Per il punto a) so dalla teoria che per avere somma diretta dell'immagine e del nucleo questi ultimi devono rispettare la relazione Ker(f)$nn$Imm(f)= {0}. Quindi ho scritto la matrice rappresentativa dell'applicazione M= $((1,h,3),(0,1,0),(h,0,h))$ ed ho ricavato nucleo e immagine e ho visto che per h=1, l'intersezione mi da vettore nullo. Non so se sia giusto, mentre per il secondo punto non so da dove inziare...
Grazie dell'aiuto
Data l'applicazione lineare f: $RR^3$ $rarr$ $RR^3$ tale che:
f($e_1$)= $e_1$+h$e_3$ ; f($e_2$)= h$e_1$+$e_2$; f($e_3$)= 3$e_1$+h$e_3$
a) stabilire per quali valori del parametro h $in$ $RR$ risulta $RR^3$= Imm(f)⊕ker(f)
b) Dato un endomorfismo f $in$ End(V) tale che V =Imm(f)⊕Ker(f), vale sempre che $f^2$=f
Per il punto a) so dalla teoria che per avere somma diretta dell'immagine e del nucleo questi ultimi devono rispettare la relazione Ker(f)$nn$Imm(f)= {0}. Quindi ho scritto la matrice rappresentativa dell'applicazione M= $((1,h,3),(0,1,0),(h,0,h))$ ed ho ricavato nucleo e immagine e ho visto che per h=1, l'intersezione mi da vettore nullo. Non so se sia giusto, mentre per il secondo punto non so da dove inziare...
Grazie dell'aiuto
Risposte
Provo a risponderti
Per prima cosa, affiché $\RR^3$ sia somma diretta dei suoi sottospazi $ker f$ e $Im f$ deve risultare
1) $\RR^3=ker f + Im f$
2) $ker f \nn Im f ={0}$
La 1) dovrebbe essere sempre verificata per il teorema della dimensione, quindi l'unico discrimine è la 2)
Tenendo presente che per un endomorfismo di uno spazio vettoriale finitamente generato l'iniettività implica la suriettività e viceversa, osserva che se $f$ è iniettiva ( e quindi anche suriettiva e biettiva), hai $ker f={0}$ e $Im f=\RR^3$ e $\RR^3$ è somma diretta di $ker f$ e $Im f$. Nel nostro caso, $f$ è biettiva se e solo se $h!=0$, e per tali valori possiamo affermare la tesi.
Non ci resta che verificare il caso $h=0$, nel qual caso si ha $Im f=<>$ e $ker f=<<3e_1-e_3>>$ e anche $Im f \nn ker f={0}$. Pertanto, per ogni $h\in\RR$ si ha $\RR^3=Im(f)⊕ker(f)$
Per quanto riguarda la b) sono dubbioso e non ho capito se è una cosa che devi dimostrare o se è una domanda. Direi che è falsa e che un controesempio è un qualunque automorfismo di $V$ tale che $f^2!=f$. Ad esempio, se $V=\RR^3$, puoi porre $h=1$ e verificare che $f^2!=f$. Se non erro però vale il viceversa, cioè che se $f$ è un endomorfismo di $V$ tale che $f^2=f$ allora $V=Imm(f)⊕ker(f)$.
Per prima cosa, affiché $\RR^3$ sia somma diretta dei suoi sottospazi $ker f$ e $Im f$ deve risultare
1) $\RR^3=ker f + Im f$
2) $ker f \nn Im f ={0}$
La 1) dovrebbe essere sempre verificata per il teorema della dimensione, quindi l'unico discrimine è la 2)
Tenendo presente che per un endomorfismo di uno spazio vettoriale finitamente generato l'iniettività implica la suriettività e viceversa, osserva che se $f$ è iniettiva ( e quindi anche suriettiva e biettiva), hai $ker f={0}$ e $Im f=\RR^3$ e $\RR^3$ è somma diretta di $ker f$ e $Im f$. Nel nostro caso, $f$ è biettiva se e solo se $h!=0$, e per tali valori possiamo affermare la tesi.
Non ci resta che verificare il caso $h=0$, nel qual caso si ha $Im f=<
Per quanto riguarda la b) sono dubbioso e non ho capito se è una cosa che devi dimostrare o se è una domanda. Direi che è falsa e che un controesempio è un qualunque automorfismo di $V$ tale che $f^2!=f$. Ad esempio, se $V=\RR^3$, puoi porre $h=1$ e verificare che $f^2!=f$. Se non erro però vale il viceversa, cioè che se $f$ è un endomorfismo di $V$ tale che $f^2=f$ allora $V=Imm(f)⊕ker(f)$.
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