Applicazione lineare e matrici associate
non riesco a risolvere questo esercizio...ogni consiglio e ben accetto.
Sia `M_2(RR)` lo spazio delle matrici quadrate di ordine 2 a coefficienti reali. Sia `P ol_2(RR)[x]` lo spazio dei polinomi di grado $n <= 2 $ in x, a coefficienti reali. Siano A, B, C, D ∈ `M_2(RR)` le seguenti matrici:
`A=[[ 1,0 ],[ 2,1 ]]` `B=[[0,-1],[1,2]]` `C=[[3,4],[-2,1]]` `D=[[1,0],[0,1]]`
Sia f : `M_2(RR)` → `P ol_2(RR)[x]` una applicazione lineare tale che
`f (A) = x -1`
`f (B) = x^2 + 2x -3`
`f (AB) = x^2 -4`
`f (A^2 ) = 2x + 1`
Dimostrare che `f (C)` è un singolo polinomio, mentre `f (D)` è un insieme di `∞^1` elementi che non formano uno spazio vettoriale.
Sia `M_2(RR)` lo spazio delle matrici quadrate di ordine 2 a coefficienti reali. Sia `P ol_2(RR)[x]` lo spazio dei polinomi di grado $n <= 2 $ in x, a coefficienti reali. Siano A, B, C, D ∈ `M_2(RR)` le seguenti matrici:
`A=[[ 1,0 ],[ 2,1 ]]` `B=[[0,-1],[1,2]]` `C=[[3,4],[-2,1]]` `D=[[1,0],[0,1]]`
Sia f : `M_2(RR)` → `P ol_2(RR)[x]` una applicazione lineare tale che
`f (A) = x -1`
`f (B) = x^2 + 2x -3`
`f (AB) = x^2 -4`
`f (A^2 ) = 2x + 1`
Dimostrare che `f (C)` è un singolo polinomio, mentre `f (D)` è un insieme di `∞^1` elementi che non formano uno spazio vettoriale.
Risposte
dal momento che ho un'applicazione lineare che data una matrice `2x2` ne ricavo un polinomio di grado `x<=2` penso che si corretto scrivere:
`f ([a,b],[c,d]) = (alpha)x^2 + (beta)x + (gamma)`
dove `alpha, beta, gamma` sono una combinazione di a,b,c,d
però non conosco come a b c e d si possono combinare per formare il polinomio...
suggerimenti?
`f ([a,b],[c,d]) = (alpha)x^2 + (beta)x + (gamma)`
dove `alpha, beta, gamma` sono una combinazione di a,b,c,d
però non conosco come a b c e d si possono combinare per formare il polinomio...
suggerimenti?
Io proverei così: visto che
$AB=[(0,-1),(1,0)]$ e $A^2=[(1,0),(4,1)]$
potresti provare a scrive $C,\ D$ come combinazione lineare di alcune di queste (non tutte perché non so se siano o meno una base di $M_2(RR)$.)
A questo punto puoi calcolare i valori di $f(C)$ e $f(D)$ come combinazione lineare dei valori dati precedentemente.
$AB=[(0,-1),(1,0)]$ e $A^2=[(1,0),(4,1)]$
potresti provare a scrive $C,\ D$ come combinazione lineare di alcune di queste (non tutte perché non so se siano o meno una base di $M_2(RR)$.)
A questo punto puoi calcolare i valori di $f(C)$ e $f(D)$ come combinazione lineare dei valori dati precedentemente.
avevo pensato anche io a qualcosa di simile, operando principalmente sulla matrice A e sulla matrice B.
infatti conoscendo sia `f(A)` che `f(B)` pensavo di trovare una combinazione per `f(AB)` però non sono riuscito a trovare nessuna combinazione lineare che mi dia `f(AB) = x^2 -4`
infatti conoscendo sia `f(A)` che `f(B)` pensavo di trovare una combinazione per `f(AB)` però non sono riuscito a trovare nessuna combinazione lineare che mi dia `f(AB) = x^2 -4`
No, non intendo questo. Intendo dire che potresti trovare dei coefficienti tali che
$C=a*A+b*B+c*(AB)+d*A^2$ e $D=\alpha*A+\beta*B+\gamma*(AB)+\kappa*A^2$.
Ovviamente non è detto che tu riesca a determinare qualcosa in maniera univoca, poiché (puoi dimostrarlo) $\{A,B,AB,A^2\}$ non sono linearmente indipendenti (e quindi non possono essere una base di $M_2(RR)$. Tra l'altro, è proprio questo il motivo per cui l'immagine di $D$ viene qualcosa di strano!).
$C=a*A+b*B+c*(AB)+d*A^2$ e $D=\alpha*A+\beta*B+\gamma*(AB)+\kappa*A^2$.
Ovviamente non è detto che tu riesca a determinare qualcosa in maniera univoca, poiché (puoi dimostrarlo) $\{A,B,AB,A^2\}$ non sono linearmente indipendenti (e quindi non possono essere una base di $M_2(RR)$. Tra l'altro, è proprio questo il motivo per cui l'immagine di $D$ viene qualcosa di strano!).
io ponevo tutta la mia attenzione sul polinomio di secondo grado e cercavo di trovare il modo di passare per esempio da `f(A)` al relativo polinomio...
invece a quanto capisco il problema è centrato sulle matrici...
insomma non si trova la regola per passare dalla matrice al polinomio?
invece a quanto capisco il problema è centrato sulle matrici...
insomma non si trova la regola per passare dalla matrice al polinomio?
Mmmmmmmm.... la vedo difficilotta! O eglio, lo fai, ma ti devi risolvere un sistema che non finisce più! Avresti un sistema in cui ci sono 12 incognite (tre coefficienti per ogni polinomio generati dalle combinazioni lineari dei quattro elementi di matrice) e di 12 incognite (3 equazioni per ogni matrice e 4 matrici).
Se te lo vuoi risolvere, fai pure!
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