Applicazione lineare e matrice associata

[yalbach]

Ciao a tutti,

Data l'applicazione lineare $R^2to R^4$ tale che $(1,-1)$ $\epsilon$ $Ker f$ e $(2,-1)$ $\epsilon$ a $f^-1 (1,-1,1,-1)$
determinare la matrice associata.

E' corretto dire che:
$f(1,-1)=(0,0,0,0)$ ? Questa sarebbe al prima condizione
Per la seconda, quella riferita a $f^-1$ non so come procedere aiuto!!

Grazie a tutti ciao

[Quinzio]

Se chiamiamo

$v_1 = (1,-1)$

$v_2 = (2,1)$

$v_3 = (1,-1,1,-1)$

Allora $f(v_1) = \vec 0$, $f(v_2) = v_3$, e anche $f(v_1+v_2)=v_3$, giusto ?

Ma $v_1+v_2= (3,0)$, quindi la matrice cercata iniziamo a scriverla così: $(v_3, ?)$

E per tenere conto anche del ker abbiamo la matrice completa $(v_3, v_3)$. OK ?

[yalbach]

perchè $v_2 = (2,1)$ ? non dovrebbe essere $(2,-1)$?

e come ricavi $f(v_2)=v_3$? $f(v_1+v_2)= v_3$?

[vittorino70]

Detta in altro modo io avrei fatto così.
Comincio con l'osservare che per ipotesi è :
\(\displaystyle \begin{cases}f(1,-1)=(0,0,0,0)\\f(2,-1)=(1,-1,1,-1))\end{cases} \)
Allora,indicato con \(\displaystyle (x,y) \) il generico vettore di \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \), lo esprimo in funzione dei vettori \(\displaystyle (1,-1),(2,-1) \) :
(1) \(\displaystyle (x,y)=a\cdot(1,-1)+b\cdot (2,-1) \)
che porta al sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}a+2b=x\\-a-b=y\end{cases}\)
da cui \(\displaystyle a=-x-2y,b=x+y \). Pertanto il sistema (1) diventa:
(2) \(\displaystyle (x,y)=(-x-2y)\cdot(1,-1)+(x+y)\cdot (2,-1) \)
Passando alle immagini risulta :
\(\displaystyle f(x,y)=(-x-2y)\cdot(0,0,0,0)+(x+y)\cdot(1,-1,1,-1)=(x+y,-x-y,x+y,-x-y) \)
Di conseguenza la matrice A richiesta è:
\(A=\displaystyle \begin{pmatrix} 1&1\\-1&-1 \\1&1\\-1&-1 \end{pmatrix} \)
( La matrice soddisfa le condizione poste ma la vedo un po' strana. Aspetto conferma...)
Volendo, si può comunque giungere in maniera rapida alla matrice A richiesta col seguente calcolo :
\(\displaystyle A= \begin{pmatrix} 0&1\\0&-1\\0&1\\0&-1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1&2\\-1&-1\end{pmatrix}^{-1}\)
dove la prima matrice a destra dell'eguale ha per colonne le immagini note e la seconda matrice è l'inversa della matrice che ha per colonne i vettori pure noti \(\displaystyle (1,-1),(2,-1) \)
Da qui si ha :
\(\displaystyle A= \begin{pmatrix} 0&1\\0&-1\\0&1\\0&-1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1&-2\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&1\\-1&-1 \\1&1\\-1&-1 \end{pmatrix} \)