Applicazione lineare e matrice associata

[christian.mar]

Salve a tutti, ho questo quesito da porvi:

sia R3[x] lo spazio vettoriale dei polinomi di grado <=3 sia L:R3[x] -> R3[x] la funzione definita da L(p(x))=p(x)-p(-x) per ogni p(x) appartenente a R3[x]. Determinare una base di ker(L) e una base di Im(L).
Trovare un'applicazione lineare s:R3[x] -> R3[x] tale che rango(s)=2 e rango(S o L)>0

Stavo pensando di prendere come base di partenza [1,x,x2,x3] e come base di arrivo [L(1),L(x),L(x2),L(x3)] e poi calcolarmi la matrice associata. Visto che non ho trovato un esercizio simile, vorrei sapere se è una soluzione giusta

Grazie per l'attenzione

[ciampax]

No, cerca di usare le definizioni (e scrivi in mathml). La tua applicazione è $L(p(x))=p(x)-p(-x)$, dove la forma generale diun polinomio è $p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, con $a,b,c,d$ costanti reali. Per determinare il nucleo puoi fare così:

$0=L(p(x))=p(x)-p(-x)=ax^3+bx^2+cx+d-(-ax^3+bx^2-cx+d)=2ax^3+2cx$ e per l'indipendenza lineare di $x^3,\ x$, necessariamente $a=c=0$, quindi

$\ker(L)=\{p(x)=bx^2+d\ :\ b,d\in RR\}$.

Seguendo questo modo di ragionare, prova a fare il resto.

[franced]

Osservo che un polinomio che sta nel ker deve essere tale che

$p(x) - p(-x) = 0$

ovvero

$p(x) = p(-x)$

cioè il polinomio deve essere una funzione pari, ovvero deve avere
tutte potenze pari.

Quindi il risultato di ciampax può essere visto anche così..

[piero_1]

@christian.mar:
Benvenut* nel forum.

Per imparare a scrivere le formule leggi QUI
ciao

[christian.mar]

Vi ringrazio per le vostre risposte, ma ho ancora problemi nel resto dell'esercizio. Effettivamente trovare il nucleo non era difficile... ci ero quasi arrivato...
Però non riesco a capire come trovare la base dell'immagine.
Mentre per il kernel basta porre $L(p(x))=0$ applicando la definizione, l'immagine è $Im(L)={f(x): x in V }$ ... in questo caso come devo procedere?

[franced]

"christian.mar":Vi ringrazio per le vostre risposte, ma ho ancora problemi nel resto dell'esercizio. Effettivamente trovare il nucleo non era difficile... ci ero quasi arrivato...
Però non riesco a capire come trovare la base dell'immagine.

Guarda la risposta di ciampax: quando cerca i polinomi del nucleo in realtà calcola anche il generico polinomi immagine!

[franced]

"ciampax":No, cerca di usare le definizioni (e scrivi in mathml). La tua applicazione è $L(p(x))=p(x)-p(-x)$, dove la forma generale diun polinomio è $p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, con $a,b,c,d$ costanti reali. Per determinare il nucleo puoi fare così:

$0=L(p(x))=p(x)-p(-x)=ax^3+bx^2+cx+d-(-ax^3+bx^2-cx+d)=2ax^3+2cx$ e per l'indipendenza lineare di $x^3,\ x$, necessariamente $a=c=0$

...

Vedi? L'immagine del generico polinomio è

$2ax^3+2cx$

concludi da solo, ora!

[christian.mar]

Per trovare l'applicazione lineare S provo a prendere $S(p(x))=p(x)+p(-x)$ così trovo che $S(ax^3+bx^2+cx+d)=2bx^2+2d$ quindi scrivo il vettore $[[2d],[0],[2b],[0]]$ che posso scrivere come combinazione lineare dei due vettori $d*[[2],[0],[0],[0]]+b*[[0],[0],[2],[0]]$ che ha rango 2
SoL=$[[2,0,0,0],[0,0,2,0],[0,2,0,0],[0,0,0,2]]$ che ha rango 4
questo è il giusto ragionamento?
grazie

[ciampax]

Mmmmmm....
Tu stai dicendo che $S(p(x))=p(x)+p(-x)$ e quindi

$S(L(p(x)))=S(p(x)-p(-x))=p(x)-p(-x)+p(-x)-p(x)=0$

quindi se scegli $S$ fatta così ottieni l'applicazione nulla!