Applicazione lineare e matrice

[Pablo5]

Ciao a tutti,non riesco a capire un passaggio di questo esercizio:


Sia L l'applicazione lineare $R^3->R^3$ tale che

$L((2),(1),(0))=((3),(4),(1))$
$L((0),(1),(0))=((1),(2),(1))$
$L((1),(0),(-1))=((0),(2),(-1))$


scrivere la matrice rispetto alle basi canoniche


Inanzitutto controlla se i vettori sono linearmente indipendenti, e lo verifica con successo
calcolando il determinante della matrice

$((2,1,0),(0,1,0),(1,0,-1))$


e fin qua tutto torna
dopodiche dice:ora calcoliamo le immagini dei vettori della base
e scrive

$((1),(0),(0))=a((2),(1),(0))+b((0),(1),(0))+c((1),(0),(-1))$

ecco qualcuno potrebbe dirmi il perchè e il percome di questo passaggio?
e inoltre:
i vettori

$((2),(1),(0))$
$((0),(1),(0))$
$((1),(0),(-1))$


sono le basi?
ho iniziato da poco l'argomento.....

[_Tipper]

L'applicazione lineare è rappresentata da una matrice $3 \times 3$, quindi del tipo

$((A,B,C),(D,E,F),(G,H,I))$

Un modo (abbastanza meccanico, ma efficace) per trovare la matrice rispetto alla base canonica è imporre

$((A,B,C),(D,E,F),(G,H,I)) ((2),(1),(0)) = ((3),(4),(1))$

$((A,B,C),(D,E,F),(G,H,I)) ((0),(1),(0)) = ((1),(2),(1))$

$((A,B,C),(D,E,F),(G,H,I)) ((1),(0),(-1)) = ((0),(2),(-1))$

[Pablo5]

"Tipper":L'applicazione lineare è rappresentata da una matrice $3 \times 3$, quindi del tipo

$((A,B,C),(D,E,F),(G,H,I))$

Un modo (abbastanza meccanico, ma efficace) per trovare la matrice rispetto alla base canonica è imporre

$((A,B,C),(D,E,F),(G,H,I)) ((2),(1),(0)) = ((3),(4),(1))$

$((A,B,C),(D,E,F),(G,H,I)) ((0),(1),(0)) = ((1),(2),(1))$

$((A,B,C),(D,E,F),(G,H,I)) ((1),(0),(-1)) = ((0),(2),(-1))$

grazie per la risposta, sinceramente non ho capito il tuo metodo
cmq quello che mi preme ssapere è l passaggio da me postato precedentemente.....

[_Tipper]

I vettori che formano la base canonica di $\mathbb{R}^3$ sono

$((1),(0),(0))$, $((0),(1),(0))$, $((0),(0),(1))$

I vettori

$((2),(1),(0))$, $((0),(1),(0))$, $((1),(0),(-1))$

sono linearmente indipendenti, pertanto formano una base di $\mathbb{R}^3$, ma ovviamente non quella canonica. Dato che tu conosci le immagini di questi vettori, non ti resta che determinare le coordinate dei vettori della base canonica rispetto a quest'altra base. In generale, il vettore $v$, ha coordinate $(a,b,c)$ rispetto alla base $\{e_1, e_2, e_3\}$ se e solo se $v = a e_1 + b e_2 + c e_3$. Per questo si pone

$((1),(0),(0)) = a ((2),(1),(0)) + b ((0),(1),(0)) + c ((1),(0),(-1))$

Si ottiene un sistema lineare di tre equazione in tre incognite. Supponiamo che $\bar{a}$, $\bar{b}$ e $\bar{c}$ siano le soluzioni, allora

$L(((1),(0),(0))) = L(\bar{a} ((2),(1),(0)) + \bar{b} ((0),(1),(0)) + \bar{c} ((1),(0),(-1)))$

ma visto che $L(\cdot)$ è un'applicazione lineare si ottiene

$L(((1),(0),(0))) = \bar{a} L(((2),(1),(0))) + \bar{b} L(((0),(1),(0))) + \bar{c} L(((1),(0),(-1)))$

ovvero

$L(((1),(0),(0))) = \bar{a} ((3),(4),(1)) + \bar{b} ((1),(2),(1)) + \bar{c} ((0),(2),(-1)) = ((3 \bar{a} + \bar{b}),(4 \bar{a} + 2 \bar{b} + 2 \bar{c}),(\bar{a} + \bar{b} - \bar{c}))$

e questa è proprio la prima colonna della matrice richiesta. La seconda colonna della matrice è $L(((0),(1),(0)))$, ed è noto, la terza colonna è $L(((0),(0),(1)))$, e si ragiona analogamente a quanto fatto.

[Pablo5]

non potevi essere piu' chiaro di cosi'
grazie mille^_^