Applicazione Lineare... dove sbaglio??
Buonasera ragazzi! Un'esercizio dugli omomorfismi non mi dà pace, quando faccio la verifica mi accorgo che sbaglio... Comunque, l'esercizio è il seguente:
"Se la matrice $A=((1,3,1),(2,0,4))$ rappresenta un omomorfismo $f:RR^3->RR^3$ nelle basi B=$[(1,0,3),(0,0,2),(0,1,1)$ e B'=$[(1,1)(4,1)]$, qual è l'immagine della generica terna $(x,y,x)$ tramite $f$?"
A me viene $f(x,y,x)=x*f(1,0,0)+y*f(0,1,0)+z*f(0,0,1)=(1/2(3x+31y+9z),1/2(3x+7y-3z))$, e, verificando per il vettore noto $(1,0,3)$ capisco di aver sbagliato qualcosa... Mi potreste aiutare? Grazie
"Se la matrice $A=((1,3,1),(2,0,4))$ rappresenta un omomorfismo $f:RR^3->RR^3$ nelle basi B=$[(1,0,3),(0,0,2),(0,1,1)$ e B'=$[(1,1)(4,1)]$, qual è l'immagine della generica terna $(x,y,x)$ tramite $f$?"
A me viene $f(x,y,x)=x*f(1,0,0)+y*f(0,1,0)+z*f(0,0,1)=(1/2(3x+31y+9z),1/2(3x+7y-3z))$, e, verificando per il vettore noto $(1,0,3)$ capisco di aver sbagliato qualcosa... Mi potreste aiutare? Grazie
Risposte
Anzitutto quella rappresenta una applicazione tra $RR^3$ ed $RR^2$ 
Ma immagino sia solo una svista.
Il problema è che tu calcoli la tua applicazione lineare rispetto alla base canonica. Ma tu non sai come questi effettivamente si comportano. Tu hai le immagini dei vettori $(1,0,3),(0,0,2),(0,1,1)$. Potresti allora applicare il tuo procedimento ma ricavando prima le immagini dei vettori della base canonica. Sai farlo?
Ma immagino sia solo una svista.Il problema è che tu calcoli la tua applicazione lineare rispetto alla base canonica. Ma tu non sai come questi effettivamente si comportano. Tu hai le immagini dei vettori $(1,0,3),(0,0,2),(0,1,1)$. Potresti allora applicare il tuo procedimento ma ricavando prima le immagini dei vettori della base canonica. Sai farlo?
Si si, ho ricavato le immagini dei vettori della base canonica, ed è iconsiderando queste immagini che ho ricavato l'omomorfismo Non ho scritto il procedimento perché ci voleva un po' di tempo
p.s. si, ho sbagliato a scrivere, scusa eheh
Non ho scritto il procedimento perché ci voleva un po' di tempop.s. si, ho sbagliato a scrivere, scusa eheh
Beh allora saranno sbagli i calcoli... Prova un po' a postarli
Eccomi. Si, ho risolto... Erore stupido... Allora, posto i passaggi
In pratica ho trovato le immagini dei tre vettori della base, grazie alla matrice associata:
$f(1,0,3)=1(1,1)+2(4,1)=(9,3)
$f(0,0,2)=3(1,1)=(3,3)$
$f(0,1,1)=1(1,1)+4(4,1)=(17,5)$
Da questi vettori di $RR^3$ ho trovato le immagini dei vettori della base canonica, in questo modo
$f(0,0,1)=$ (per linearità) $1/2f(0,0,2)=(3/2,3/2)
$f(0,1,0)=f(0,1,1)-f(0,0,1)=(17,5)-(3/2,3/2)=(31/2,7/2)$
$f(1,0,0)=f(1,0,3)-3f(0,0,1)=(9/2,-3/2)$
Quindi la generica terna $f(x,y,x)=x⋅f(1,0,0)+y⋅f(0,1,0)+z⋅f(0,0,1)$ Nella trascrizione delle immagini della base, come si pouò notare dal primo post, ho invertito le immagini di $(1,0,0)$ e $(0,0,1)$... Non è $f(x,y,z)=(1/2( 3x+31y+9z),1/2(3x+7y-3z))$, ma $f(x,y,z)=(1/2(9x+31y+3z),1/2(-3x+7y+3z))$... da qui risulta appunto che $f(1,0,3)=(9,3)$... Tutto bene quel che finisce bene...... e che si fa di mattina e non di sera XD
In pratica ho trovato le immagini dei tre vettori della base, grazie alla matrice associata:
$f(1,0,3)=1(1,1)+2(4,1)=(9,3)
$f(0,0,2)=3(1,1)=(3,3)$
$f(0,1,1)=1(1,1)+4(4,1)=(17,5)$
Da questi vettori di $RR^3$ ho trovato le immagini dei vettori della base canonica, in questo modo
$f(0,0,1)=$ (per linearità) $1/2f(0,0,2)=(3/2,3/2)
$f(0,1,0)=f(0,1,1)-f(0,0,1)=(17,5)-(3/2,3/2)=(31/2,7/2)$
$f(1,0,0)=f(1,0,3)-3f(0,0,1)=(9/2,-3/2)$
Quindi la generica terna $f(x,y,x)=x⋅f(1,0,0)+y⋅f(0,1,0)+z⋅f(0,0,1)$ Nella trascrizione delle immagini della base, come si pouò notare dal primo post, ho invertito le immagini di $(1,0,0)$ e $(0,0,1)$... Non è $f(x,y,z)=(1/2( 3x+31y+9z),1/2(3x+7y-3z))$, ma $f(x,y,z)=(1/2(9x+31y+3z),1/2(-3x+7y+3z))$... da qui risulta appunto che $f(1,0,3)=(9,3)$... Tutto bene quel che finisce bene...... e che si fa di mattina e non di sera XD
Perfetto, meglio così!
Buono studio!
Buono studio!
Scusa, mistake, c'è un altro esercizio, su cui sono insicuro di come ho proceduto... È il seguente:
"Determinare un omomorfismo [tex]f:R^2\rightarrow R^3[/tex] tale che:
1. [tex](1,2,3) \in Im f[/tex]
2. [tex]Ker f \neq \underline{0}[/tex]
Esibire, se esiste, un sottospazio dei polinomi isomorfo a [tex]Ker f[/tex]"
Per far questo ho trovato una base generica di $R^2$ ossia $ (1,2),(0,1)$ (Non riesco a scrivere un sistema di vettori con MathMl -.-). Per il teorema fondamentale dell'applicazione lineare, ci sarà sicuramente un omorfismo che farà corrispondere ai due vettori della base le immagini $(1,4,-1)$ e $(-1,-4,1)$. Ho scelto queste due immagini in modo che la matrice associata nella base canonica di $R^3$ sia $ ( ( -1,1 ),(-4,4),(1,-1) ) $ , di dimensione 1. Così facendo $dim Ker f=1$ e il 2. è dimostrato. Ora mi calcolo l'immagine del vettore $(1,0)$ della base canonica, che sarà $(3,12,-3)$ e così mi trovo l'omomorfismo $f(x,y)=x*f(1,0)+y*f(0,1)=(3x-y, 12x-4y,-3x+y)$... Ma non c'è un modo più sbrigativo per far questo? Eheh... (si, lo so, potevo scegliere direttamente i due vettori della base canonica fin dall'inizio... mi viene in mente ora riscrivendo l'esercizio)
Uno sottospazio isomorfo a $Ker f$ può essere $$? Grazie 
"Determinare un omomorfismo [tex]f:R^2\rightarrow R^3[/tex] tale che:
1. [tex](1,2,3) \in Im f[/tex]
2. [tex]Ker f \neq \underline{0}[/tex]
Esibire, se esiste, un sottospazio dei polinomi isomorfo a [tex]Ker f[/tex]"
Per far questo ho trovato una base generica di $R^2$ ossia $ (1,2),(0,1)$ (Non riesco a scrivere un sistema di vettori con MathMl -.-). Per il teorema fondamentale dell'applicazione lineare, ci sarà sicuramente un omorfismo che farà corrispondere ai due vettori della base le immagini $(1,4,-1)$ e $(-1,-4,1)$. Ho scelto queste due immagini in modo che la matrice associata nella base canonica di $R^3$ sia $ ( ( -1,1 ),(-4,4),(1,-1) ) $ , di dimensione 1. Così facendo $dim Ker f=1$ e il 2. è dimostrato. Ora mi calcolo l'immagine del vettore $(1,0)$ della base canonica, che sarà $(3,12,-3)$ e così mi trovo l'omomorfismo $f(x,y)=x*f(1,0)+y*f(0,1)=(3x-y, 12x-4y,-3x+y)$... Ma non c'è un modo più sbrigativo per far questo? Eheh... (si, lo so, potevo scegliere direttamente i due vettori della base canonica fin dall'inizio... mi viene in mente ora riscrivendo l'esercizio
)Uno sottospazio isomorfo a $Ker f$ può essere $
Non solo potevi scegliere i basi della base canonica ma potevi anche assegnare direttamente le immagini richieste, cioè $f(e_1)=v_1, f(e_2)=0$, dove $v_1$ è il vettore che ti è stato assegnato.
Abbiamo così che l'immagine è esattamente $v_1$, mentre il $ker$ contenendo $e_2$ non è banale.
Abbiamo così che l'immagine è esattamente $v_1$, mentre il $ker$ contenendo $e_2$ non è banale.
Eh si, praticamente si... eheh E nel modo che hai detto tu le immagini saranno tutte proporzionali fra loro, giusto?
Oppure nulle, esatto!
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